第三章 傅里叶级数

Posted 2020-10-05 坚持学习，持续进步

 

 

一些概念

分段光滑

讨论在某个区间上的函数f(x),如果该区间可以被分成段，使得每段内的函数f(x)是连续的，且其导数df/dx也是连续的，那么称为函数f(x)在此区间上分段光滑。

傅里叶收敛定理

在−L≤x≤L区间上函数f(x)和它的傅里叶级数（如下式）是不同的。这个无穷级数可能收敛也可能不收敛，即使收敛也可能不收敛于f(x)。


显然，当傅里叶系数存在时，傅里叶级数才存在。因此，满足|∫−LLf(x)dx|<∞的f(x)才能写出傅里叶级数。
由于傅里叶级数存在时也不一定收敛于f(x)，写出下面的记号：

符号∼读作“（在给定区间上）有傅里叶级数”。当傅里叶级数收敛与f(x)时，上式可以使用=号

收敛定理

如果f(x)在区间−L≤x≤L上是分段光滑的，则f(x)的傅里叶级数收敛。且

• 在其周期延拓的连续点上，收敛于f(x)的周期延拓
• 在其周期延拓的跳跃间断点上，收敛于周期延拓左右极限的极限平均值。

傅里叶正余弦级数

正弦级数

正弦函数为奇函数，因此只需要f(x)在0≤x≤L上的信息即可，然后对f(x)进行奇延拓，就可以写出函数的正弦级数。

## 余弦级数
同样，对于然后对f(x)进行偶延拓，就可以写出函数的余弦级数。

至于要使用哪种级数则需要边界条件来决定，有时使用傅里叶级数（既包含正弦又包含余弦）

奇部和偶部

任意函数都可以写成奇部(fo(x))和偶部fe(x)的形式:
f(x)=fo(x)+fe(x)=12[f(x)−f(−x)]+12[f(x)+f(−x)]
因此，

f(x)的傅里叶级数等于奇部的正弦傅里叶级数加上偶部的余弦傅里叶级数。

傅里叶级数连续性

从傅里叶级数的收敛性很容易推出连续性的条件：没有周期延拓间断点。具体描述如下：
对于傅里叶级数：
对于分段光滑的f(x)，如果f(x)是连续的，且f(−L)=f(L)，则f(x)的傅里叶级数是连续的，且在−L≤x≤L上收敛于f(x)
显然，对于定义在−L≤x≤L上f(x)的余弦级数，由于进行了偶拓展，满足f(−L)=f(L)，则
对于余弦级数，连续性定理为：
对于分段光滑的f(x)，如果f(x)是连续的，则f(x)的傅里叶余弦级数是连续的，且在0≤x≤L上收敛于f(x)
对于正弦级数，进行了奇延拓，连续定理为：
对于分段光滑的f(x)，如果f(x)是连续的，且f(0)=f(L)=0，则f(x)的傅里叶正弦级数是连续的，且在0≤x≤L上收敛于f(x)

傅里叶级数的逐项微分

无穷级数，即使是收敛的无穷级数并不总是可以逐项微分。
可以证明以下定理：
**如果df/dx分段光滑，一个连续的傅里叶级数可以逐项微分
注意，这里包含了傅里叶级数连续的条件。
证明思路为：（所有逐项微分的定理都可以用这个思路证明）
由于df/dx分段光滑，可以写出它的傅里叶级数。
写出f(x)的傅里叶级数，求出两者系数的关系即可。具体证明如下：



利用傅里叶级数逐项微分定理，可以写出
余弦级数逐项微分定理：
如果df/dx分段光滑，连续函数f(x)的傅里叶余弦级数可以逐项微分
正弦级数逐项微分定理：
如果df/dx分段光滑，当f(0)=f(L)=0时，连续函数f(x)的傅里叶正弦级数可以逐项微分
特别的，使用上面的思路证明正弦级数逐项微分定理时可以得到，当f(0)=f(L)≠0时，也有如下公式：

这里只要求函数连续即可，因此，当函数连续，导数分段光滑时:
余弦级数逐项可微，
正弦级数不一定逐项可微，但是可以通过求导得到其导数的余弦级数

特征函数展开法

注意，这里的傅里叶级数依赖于参数t。

傅里叶级数的逐项积分

分段光滑的f(x)的傅里叶级数总是可以被逐项积分的，其结果是一个收敛的无穷级数，该级数在−L≤x≤L上收敛于f(x)的积分
但是要注意，逐项积分一个傅里叶级数不一定得到另一个傅里叶级数

总结

条件	傅里叶级数类型	结论	范围
f(x) 分段光滑	傅里叶级数	存在	−L≤x≤L
f(x) 分段光滑，连续	余弦傅里叶级数	连续	0≤x≤L
f(x) 分段光滑，连续，f(0)=f(L)=0	正弦傅里叶级数	连续	0≤x≤L
dfdx 分段光滑，f(x) 分段光滑，连续	余弦傅里叶级数	逐项可微	0≤x≤L
dfdx 分段光滑，f(x) 分段光滑，连续，f(0)=f(L)=0	正弦傅里叶级数	逐项可微	0≤x≤L
u(x,t) 连续，∂u∂t 分段光滑	傅里叶级数	关于参数t 逐项可微	−L≤x≤L

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