微积分——傅里叶级数

Posted 2021-07-19 临风而眠

傅里叶级数

文章目录

• 傅里叶级数
• • 一.三角级数及三角函数系的正交性
  • • 1.三角级数
    • 2.三角函数系的正交性
    • • ①任何两个不同的三角函数的乘积在一个周期长的区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分等于0
      • ②任何一个三角函数的平方在$[-\pi ,\pi ]$上的积分不等于0
    • 3.傅里叶级数
  • 二.周期为2$\pi$的函数展成傅里叶级数
  • • 1.狄利克雷条件(收敛的充分条件)
    • 2.正弦级数和余弦级数
  • 四.周期为2$l$的函数展成傅里叶级数
  • • 1.转化为$2\pi$
    • 2.正弦级数和余弦级数
  • 五.有限区间$[0,l]$上的函数的傅里叶展开

一.三角级数及三角函数系的正交性

1.三角级数

​ 数学上，用周期函数来描述各种周而复始的现象，周期运动，最基本的周期函数是正弦函数（也叫谐函数）：
$$Asin(\omega x+\phi )$$
其周期为$T=\frac{2\pi }{\omega }$.

​ 谐函数由振幅$A$,(角)频率$\omega$,初相位$\phi$ 三个量完全确定

​ 而实际上往往遇到较复杂的周期现象,函数为非正弦周期函数，这些周期运动是由不同频率的谐振动,简谐波叠加而成的，那么在数学上就把一个周期函数分解为不同频率的正弦函数和的形式，即将周期T的函数f(x)表示为如下形式:
$$A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega x+{\phi }_n),\omega =\frac{2\pi }{T}(1)$$
其中$A_0,A_n,{\phi }_n(n=1,2,...)$均为常数,利用三角公式
$$sin(n\omega x+{\phi }_n)=sin{\phi }_{n}cosn\omega x+cos{\phi }_{n}sinn\omega x$$
并令$a_0=2A_0,a_n=A_{n}sin{\phi }_n,b_n=A_{n}cos{\phi }_n(n=1,2,...)$,则(1)式可变为
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn\omega x+b_{n}sinn\omega x)(2)$$
​ (2)式表示的函数项级数,称为三角级数

2.三角函数系的正交性

​ 那么函数f(x)满足什么条件才能展为级数（2）呢？

​ 若能展成三角级数，那么$a_n,b_n$又如何确定呢?

​ 首先要理解三角函数的正交性

$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,...,\cos nx,\sin nx,...$具有如下性质：

①任何两个不同的三角函数的乘积在一个周期长的区间$[-\pi ,\pi ]$上的积分等于0

②任何一个三角函数的平方在$[-\pi ,\pi ]$上的积分不等于0

即:

${\int }_{-\pi }^{\pi }1dx=2\pi ,$

${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx=0,$

${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mxdx=\{\begin{array}{c}0,当m\ne n时，\\ \pi ,当m=n时，\end{array}$

∫ − π π sin ⁡ n x sin ⁡ m x d x = { 0 , 当 m ≠ n 时 ， π , 当 m = n 时 ， \\int^{\\pi}_{-\\pi}\\sin nx\\sin mxdx=\\left\\{\\begin{matrix}0,\\qquad当m\\ne n时，\\\\ \\pi,\\qquad 当m=n时，\\end{matrix}\\right. ∫−ππ​sinnxsinmxdx={0,当m以上是关于微积分——傅里叶级数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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