acm之路--母函数 by小宇

Posted 2020-06-29 gcczhongduan

母函数又叫生成函数，原是数学上的一个名词，是组合数学中的一个重要理论。

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)。使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂相应起来。”
2.“把离散数列和幂级数一 一相应起来，把离散数列间的相互结合关系相应成为幂级数间的运算关系。最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “
 母函数能够解决一些问题 如 砝码问题，整数划分，等等

砝码问题：
有1克、2克、3克、4克砝码各一枚。问能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

以下是用母函数解决问题的思路：

首先。我们用X表示砝码。X的指数表示砝码的重量。那么，假设用函数表示每一个砝码能够称的重量，

1个1克的砝码能够用函数X^0 + X^1表示。

1个2克的砝码能够用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

假设我们把上面2个多项式相乘。能够得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

因为X的指数表示的是重量，所以。在相乘时，依据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是全部的方案。

并且，每一个X前面的系数代表它有几种方案。

须要注意的是，假设有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

整数划分是个非常经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个。而是无限个。

于是，

1克的砝码能够用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码能够用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示。

3克的砝码能够用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

以后在ACM上难免会遇到这种问题。我们仅仅需模拟两个多项式相乘就可以。

做题思路就是开两个数组。一个数组是ans[    ]。我们用来保存当前得到的多项式的各项系数，temp[   ] 则是暂时的一个数组。用来保存每次计算的暂时结果。计算完后，赋值给ans[   ] 。然后清零。进行下一次计算；

计算的时候开3层for  循环，最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项。第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

练习题目有HDU 1085     HDU1398     HDU1028   HDU1171

hdu 1028  http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303725

hdu 1085 http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303995

hdu 1398 http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303933

hdu 1171  http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303111 （具体介绍1171题）