ycb的ACM进阶之路 二进制多重背包

Posted 2020-10-03 博客就叫Molex好了

ycb的ACM进阶之路

发布时间: 2017年5月22日 14:30   最后更新: 2017年5月22日 14:31   时间限制: 1000ms   内存限制: 128M

描述

　　ycb是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的ACMer。为此，他想拜附近最有威望的dalao为师。dalao为了判断他的资质，给他出了一个难题。dalao把他带到一个到处都是题的oj里对他说：“孩子，这个oj里有一些不同的题，做每一道题都需要一些时间，每一题也有它自身的rp（人品值）。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以做一些题。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让做题的总rp最大。” 　　如果你是ycb，你能完成这个任务吗？

输入

输入文件的第一行是一个T，表示测试组数，接下来T组每组第一行包含两个正整数N,M。M表示总共能够用来做题的时间，N代表oj里的题目的数目。接下来的N行每行包括两个的整数，分别表示做每个题的时间Ti和这道题的人品值Vi。
1 <= N, M <= 100000,
1 <= Ti, Vi <= 10

输出

输出文件仅包含一个整数表示规定时间内可以做题得到的最大人品值。

样例输入1 复制

1
3 9 
10 10 
8 1 
1 2

样例输出1

3


一拿到这题首先想到了01背包，但会超时。
仔细看了数据范围1 <= Ti, Vi <= 10发现其实所有题之间肯定会出现重复情况，因为做题时间与人品值的组合最多有100种，而题目最多有100000道，因此这道题其实就是多重背包拆分后的情况。
然而普通做法（拆成一个一个）会超时，我们就可以考虑将相同的题目的数量拆成不同的数值，使得这些数值之间可以组合成小于等于题目数量的任意数值。
比如7可以拆成1，2，4，他们之间的任意几个数可以组成小于等于11的任意值。
那么怎样能够找到这些拆分后的数呢？利用二进制即可。
7的二进制为111，7可以拆成001，010，100即为1，2，4。这样就把拆成n个问题，变为拆成logn个问题集合，dp时间复杂度得到明显的优化。

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int f[100005],v[100005],w[100005],a[15][15];

int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}

int main()
{
    int t,n,V,x,y,c,i,j,k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&V);
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            a[x][y]++;       //将重复问题存到一起，01转化多重
        }
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(v,0,sizeof(v));
        memset(w,0,sizeof(w));
        c=0;
        for(i=1;i<=10;i++){
            for(j=1;j<=10;j++){
                if(a[i][j]!=0){
                    for(k=1;k<=a[i][j];k<<=1){   //拆分优化
                        c++;
                        v[c]=k*i;
                        w[c]=k*j;
                        a[i][j]-=k;
                    }
                    if(a[i][j]>0){
                        c++;
                        v[c]=a[i][j]*i;
                        w[c]=a[i][j]*j;
                    }
                }
            }
        }
        for(i=1;i<=c;i++){     //c的大小约为logn
            for(j=V;j>=v[i];j--){
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",f[V]);
    }
    return 0;
}