2079 ACM 选课时间 背包 或 母函数

Posted 2021-01-04 cheeseice

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2079

题意：同样的学分 ，有多少种组合数，注意同样学分，课程没有区别

思路：两种方法

1. 背包
2. 母函数

背包：

注意初始化时dp[0]=1,其他都为0，循环时从学分N开始更新，减到为0，表示成功，组合数加一。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main ()
{
    int t,n,m,i,j,k,l,a,b,dp[55];  //dp记录当前学分的组合数
    cin>>t;
    while(t--&&cin>>n>>m)
    {
        for(i=dp[0]=1;i<55;i++)
            dp[i]=0;
        while(m--&&cin>>a>>b)
        {
            for(i=n;i>=a;i--)    //从最终的学分向前更新
            for(j=1;j<=b;j++)    //选择1到b门课
            if(j*a<=i)        //学分不过界
            dp[i]+=dp[i-j*a];    //那就把他加起来
        }
        cout<<dp[n]<<endl;
    }
}

母函数：

母函数的基本知识：

通过例题来了解：

例一：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

考虑用母函数来解决这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，（1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。）

1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，

1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，

1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，

这里的系数表示状态数(方案数)

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。

例二：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

g（x)=(1+x+x^2+···)(1+x^2+x^4···）（1+x^3+x^6+···）

以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念"整数拆分"和"拆分数"：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。  整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

代码实现：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

我们要写的代码就是要计算上面的函数式相乘之后的结果，数组c1[]存函数G（x）的每一项系数。代码的实现方式是：通过循环，每次循环把前两个括号相乘，得到新的第一个括号，一直把所有的括号都乘完。

例如：(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3)(1+x^4)

这一步就实现了前两个括号融合成一个括号。

例二代码：

每种种类个数无限为例，给出模板：

#include <iostream>
using namespace std;
 
const int _max = 10001;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{
    int nNum;   //你想用已有的面值组成nNum大小的面值
    int i, j, k;
 
     //该代码的前提是假设所有面值为1、2、3、4、5.....的连续数，即下面的 i
    //数量无限
    while(cin >> nNum)
    {
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   //此时的nNum是第一个括号的所有项个数  // ---- ①
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i=2; i<=nNum; ++i)    //nNum 括号个数        // ----- ②
        {
 
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     //j是第一个括号里的每一项x^j的指数j
                for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)     //   k是第二个括号的每一项x^k的指数
                {
                    c2[j+k] += c1[j]; //目前的第一括号与第二括号两两相乘
                            //由于第二括号的系数全为1，相乘后的系数就是c1[j],累加即可
                }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // 把c2中的值给c1,并把c2清0
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        cout << c1[nNum] << endl;//输出能组成nNum大小的方案数
    }
    return 0;
}

本题中每个学分的课程有限，代码模板又不一样：

高效的母函数模板

https://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042651

 直接套模板就好：

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
int T,N,K,n[8],v[8],a[42],b[42],i,j,k,last,last2;
int main()
{
    cin>>T;
    while ((T--)!=0)
    {
        cin>>N>>K;
        for (i=0;i<K;i++)
            cin>>v[i]>>n[i];
        a[0]=1;
        last=0;
        for (i=0;i<K;i++)
        {
            last2=min(last+n[i]*v[i],N);
            memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1));
            for (j=0;j<=n[i]&&j*v[i]<=last2;j++)
                for (k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)
                    b[k+j*v[i]]+=a[k];
            memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));
            last=last2;
        }
        cout<<a[N]<<endl;
    }
    return 0;
}

注意数组的初始化