洛谷P1306 斐波那契公约数

Posted 2020-10-05 Soda

P1306 斐波那契公约数

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

 

输出格式：

 

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

/*
    首先，斐波那契数列相邻项的gcd=1。假设不为1的话，可以推出之前所有相邻项gcd均不为1，但gcd(f(1),f(2))=gcd(1,1)=1，矛盾，所以相邻项gcd=1。
    然后，不妨设n<m，设第f(n)与f(n+1)为a,b，则有：
    x f(x)
    0 0 1 1 2 1 3 2 ... (n)a,(n+1)b
    (n+2)a+b
    (n+3)a+2b
    (n+4)2a+3b
    ...
    (m)f(m-n-1)a+f(m-n)b
    根据gcd(m,n)=gcd(n,m%n)，则
    gcd(f(m),f(n))
    =gcd(f(n),f(m)%f(n))
    =gcd(a,f(m-n)b)
    因为a和b是相邻项，gcd=1，所以
    _原式_=gcd(f(n),f(m-n))
    递归带入，得到
    _原式_=gcd(f(n),f(m%n))
    这就是gcd辗转相除的形式，所以可以得到
    gcd(f(m),f(n))=f(gcd(m,n))
    问题解决
    只需要先用O(logn)时间求gcd(m,n)，再求f(gcd(m,n))
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,a[1000000];
int gcd(int x,int y){
    if(y==0)return x;
    else return gcd(y,x%y);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int p=gcd(n,m);
    a[1]=1;a[2]=1;
    for(int i=3;i<=p;i++)a[i]=(a[i-1]+a[i-2])%100000000;
    printf("%d",a[p]);
    return 0;
}