P1306 斐波那契公约数

Posted five20

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了P1306 斐波那契公约数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目描述

对于Fibonacci数列:1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题:第n项和第m项的最大公约数是多少?

输入输出格式

输入格式:

两个正整数n和m。(n,m<=10^9)

注意:数据很大

输出格式:

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕,所以只要输出最后的8位数字就可以了。

输入输出样例

输入样例#1: 
4 7
输出样例#1: 
1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

 

Solution:

  本题其实并不难,开始被题意吓到了,结果后面写出了式子都没看出来(手动滑稽~)。

  方法:结论+矩阵加速

  结论:$$gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

  证明:

  我们设$n<m$,$F[n]=a$和$F[n+1]=b$。

  则$F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,…F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

  $\because \quad$ $F[n]=a,F[n+1]=b,F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

  $\therefore \quad$ $F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]$

  又$\because \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1])$

  而$F[n]|F[m-n-1]*F[n]$

  $\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

  引理:$gcd(F[n],F[n+1])=1$

   证:由欧几里德定理知

     $gcd(F[n],F[n+1])=gcd(F[n],F[n+1]-F[n])$

                       $=gcd(F[n],F[n-1])$

            $=gcd(F[n-2],F[n-1])$

            $……$

            $=gcd(F[1],F[2])=1$

      $\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[n+1])=1$

  由引理知:

  $F[n],F[n+1]$互质

  而 $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

  $\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n])$

  即$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m\;mod\;n])$

  继续递归,将$m1=m\;mod\;n$,则$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n\;mod\;m1],F[m1])$

  $…$

  不难发现,整个递归过程其实就是在求解$gcd(n,m)$

  最后递归到出现$F[0]$时,此时的$F[n]$就是所求gcd。 

  $$\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

  于是本题就转为求$gcd(n,m)$,然后求斐波拉契数列的$F[gcd(n,m)]$项后8位(即对100000000取模)。

  至于矩阵的构造:

  初始矩阵 \begin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1\end{bmatrix} 以及中间矩阵 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

代码:

 

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 #define mem(p) memset(&p,0,sizeof(p))
 6 using namespace std;
 7 const ll mod=1e8;
 8 ll n,m;
 9 struct mat{ll a[3][3],r,c;};
10 il mat mul(mat x,mat y)
11 {
12     mat p;
13     mem(p);
14     for(int i=0;i<x.r;i++)
15         for(int j=0;j<y.c;j++)
16             for(int k=0;k<x.c;k++)
17     p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
18     p.r=x.r,p.c=y.c;
19     return p;
20 }
21 il void fast(ll k)
22 {
23     mat p,ans;
24     mem(p),mem(ans);
25     p.r=p.c=2;
26     p.a[0][0]=p.a[0][1]=p.a[1][0]=1;
27     ans.r=1,ans.c=2;
28     ans.a[0][0]=ans.a[0][1]=1;
29     while(k)
30     {
31         if(k&1)ans=mul(ans,p);
32         p=mul(p,p);
33         k>>=1;
34     }
35     cout<<ans.a[0][0];
36 }
37 il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
38 int main()
39 {
40     ios::sync_with_stdio(0);
41     cin>>n>>m;
42     n=gcd(n,m);
43     if(n<=2)cout<<1;
44     else fast(n-2);
45     return 0;
46 }

 

 

 

以上是关于P1306 斐波那契公约数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

P1306 斐波那契公约数

Luogu P1306 斐波那契公约数

P1306 斐波那契公约数

斐波那契矩阵快速幂模板斐波那契公约数

斐波那契公约数的相关证明

斐波那契公约数(luogu 1306)