bzoj3924[Zjoi2015]幻想乡战略游戏 动态树分治

Posted 2020-10-05 GXZlegend

题目描述

 傲娇少女幽香正在玩一个非常有趣的战略类游戏，本来这个游戏的地图其实还不算太大，幽香还能管得过来，但是不知道为什么现在的网游厂商把游戏的地图越做越大，以至于幽香一眼根本看不过来，更别说和别人打仗了。 在打仗之前，幽香现在面临一个非常基本的管理问题需要解决。 整个地图是一个树结构，一共有n块空地，这些空地被n-1条带权边连接起来，使得每两个点之间有一条唯一的路径将它们连接起来。在游戏中，幽香可能在空地上增加或者减少一些军队。同时，幽香可以在一个空地上放置一个补给站。 如果补给站在点u上，并且空地v上有dv个单位的军队，那么幽香每天就要花费dv×dist(u,v)的金钱来补给这些军队。由于幽香需要补给所有的军队，因此幽香总共就要花费为Sigma(Dv*dist(u，v),其中1<=V<=N)的代价。其中dist(u,v)表示u个v在树上的距离（唯一路径的权和）。 因为游戏的规定，幽香只能选择一个空地作为补给站。在游戏的过程中，幽香可能会在某些空地上制造一些军队，也可能会减少某些空地上的军队，进行了这样的操作以后，出于经济上的考虑，幽香往往可以移动他的补给站从而省一些钱。但是由于这个游戏的地图是在太大了，幽香无法轻易的进行最优的安排，你能帮帮她吗？ 你可以假定一开始所有空地上都没有军队。

输入

第一行两个数n和Q分别表示树的点数和幽香操作的个数，其中点从1到n标号。 

接下来n-1行，每行三个正整数a,b,c，表示a和b之间有一条边权为c的边。 

接下来Q行，每行两个数u,e，表示幽香在点u上放了e单位个军队

（如果e<0，就相当于是幽香在u上减少了|e|单位个军队，说白了就是du←du+e）。

数据保证任何时刻每个点上的军队数量都是非负的。 

1<=c<=1000, 0<=|e|<=1000, n<=10^5, Q<=10^5

对于所有数据，这个树上所有点的度数都不超过20

N,Q>=1

输出

对于幽香的每个操作，输出操作完成以后，每天的最小花费，也即如果幽香选择最优的补给点进行补给时的花费。 

样例输入

10 5
1 2 1
2 3 1
2 4 1
1 5 1
2 6 1
2 7 1
5 8 1
7 9 1
1 10 1
3 1
2 1
8 1
3 1
4 1

样例输出

0
1
4
5
6

---

题解

动态树分治

考虑到带权重心一定在当前点到距离与权重总和更小的方向上（没有则当前点为重心），并且这个方向是唯一的，因此可以每次修改都这样移动，把重心找出。

然而直接移动就是直接暴力，需要更优雅的做法。

考虑在子树中移动，可以使用动态树分治的点分树，这样树高只有$\log n$，就可以在每层之间移动重心。

那么只需要想办法求出所有带权点到某个点的距离，并支持修改即可。

由于一个子树以外的点到子树中某点距离可以看作先到根，再从根到该点。所以可以考虑容斥的方法，即用子树中所有点到该点的距离&个数减去子节点的子树中所有点到该点的距离&个数。

然后维护这两个数组即可。由于保证了每个点的度数不超过20，因此每次暴力移动重心，直到所有子节点都比它大为止，此时当前点就是重心。

时间复杂度$O(20n\log^2n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
int head[N] , to[N << 1] , len[N << 1] , next[N << 1] , cnt , log[N << 1] , pos[N] , tot;
int si[N] , mx[N] , sum , root , vis[N] , fa[N] , val[N << 1] , rt , num[N];
ll deep[N] , md[20][N << 1] , va[N] , vb[N];
void add(int x , int y , int z)
{
	to[++cnt] = y , len[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs(int x , int fa)
{
	int i;
	pos[x] = ++tot , md[0][tot] = deep[x];
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(to[i] != fa)
			deep[to[i]] = deep[x] + len[i] , dfs(to[i] , x) , md[0][++tot] = deep[x];
}
ll dis(int x , int y)
{
	ll t = deep[x] + deep[y];
	x = pos[x] , y = pos[y];
	if(x > y) swap(x , y);
	int k = log[y - x + 1];
	return t - 2 * min(md[k][x] , md[k][y - (1 << k) + 1]);
}
void getroot(int x , int fa)
{
	int i;
	si[x] = 1 , mx[x] = 0;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(!vis[to[i]] && to[i] != fa)
			getroot(to[i] , x) , si[x] += si[to[i]] , mx[x] = max(mx[x] , si[to[i]]);
	mx[x] = max(mx[x] , sum - si[x]);
	if(mx[x] < mx[root]) root = x;
}
void solve(int x)
{
	int i;
	vis[x] = 1;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		if(!vis[to[i]])
			sum = si[to[i]] , root = 0 , getroot(to[i] , 0) , fa[root] = x , val[i] = root , solve(root);
}
ll calc(int x)
{
	int i;
	ll ans = 0;
	for(i = x ; i ; i = fa[i]) ans += va[i] + num[i] * dis(x , i);
	for(i = x ; fa[i] ; i = fa[i]) ans -= vb[i] + num[i] * dis(x , fa[i]);
	return ans;
}
ll query()
{
	int x = rt , i , y;
	ll mn , t;
	while(1)
	{
		mn = calc(x) , y = x;
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
			if(val[i] && (t = calc(to[i])) < mn)
				mn = t , y = val[i];
		if(x == y) break;
		x = y;
	}
	return mn;
}
int main()
{
	int n , m , i , j , x , y , z;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , add(x , y , z) , add(y , x , z);
	dfs(1 , 0);
	for(i = 2 ; i <= tot ; i ++ ) log[i] = log[i >> 1] + 1;
	for(i = 1 ; (1 << i) <= tot ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= tot - (1 << i) + 1 ; j ++ )
			md[i][j] = min(md[i - 1][j] , md[i - 1][j + (1 << (i - 1))]);
	mx[0] = 1 << 30 , sum = n , getroot(1 , 0) , rt = root , solve(root);
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d" , &x , &y);
		for(i = x ; i ; i = fa[i]) va[i] += y * dis(x , i) , num[i] += y;
		for(i = x ; fa[i] ; i = fa[i]) vb[i] += y * dis(x , fa[i]);
		printf("%lld\n" , query());
	}
	return 0;
}