并不对劲的bzoj3924:loj2135:p3345:[ZJOI2015]幻想乡战略游戏

Posted 2020-11-30 xzyf

题目大意

有一棵有(n)((nleq10^5))个点的树，有点权(d_i)、边权(c_i)，有(m)((mleq10^5))次操作。
每次操作给定(x,y(yin[-1000,1000]))，将点(x)的点权+y，要找到一个点，使所有点的 点权乘到这个点的距离 之和最小，输出最小的和。

题解

这题相当于求带权重心。设点(x)的子树点权和为(s_x)，子树内所有点到它的距离和为(S_x)，点1为根。
有一种(Theta(n))求带权重心的方法：
先暂时地假设根就是“重心”，考虑能不能改变“重心”使所有点((点权) imes(到这个点的距离))最小：对于一个儿子(x)，假设根到它的距离是(w_x)，把“重心”移过去，会使该儿子子树内包括该儿子所有点到“重心”的距离(-w_x)，其他点(+w_x)，所以当((该儿子子树中包括该儿子的点权和)geq(其他点的点权和))即(s_x imes 2geq s_1)时，该儿子比根更优。可以发现这种儿子至多有一个。重复该过程，直到“重心”无处可移。
由上述过程可以得出，要找的点是深度最深的满足(S_xgeq S_1-S_x)即(S_x imes2leq S_1)(1)的点。
通过移动“重心”的过程可以知道，满足(1)的点要么就是点1，要么就是一条从根出发的直链。从根开始dfs时，无论先走哪个儿子，都有每个点在dfs序中肯定在它的祖先的后面。
所有这相当于求dfs序中最靠后的满足(1)的点。
可以树剖维护dfs序的区间最大(S_x)，再二分。

代码

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define LL long long
#define maxn 100005
#define maxm (maxn<<1)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];k!=-1;k=nxt[k])
#define ls (u<<1)
#define rs (u<<1|1)
#define mi (l+r>>1)
#define lt (x&-x)
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!=‘-‘)ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return x*f;
}
void write(LL x)
{
    if(x==0){putchar(‘0‘),putchar(‘
‘);return;}
    int f=0;char ch[20];
    if(x<0)putchar(‘-‘),x=-x;
    while(x)ch[++f]=x%10+‘0‘,x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar(‘
‘);
    return;
}
LL up[maxn<<2],dn[maxn<<2],w[maxm],sumall,sz[maxn<<2],mksz[maxn<<2],dis[maxn],sumlen,tr[maxn<<2],ad[maxn<<2],mk[maxn<<2];
int n,q,fir[maxn],nxt[maxm],v[maxm],cnt,tofa[maxn];
int dfn[maxn],to[maxn],tim,dep[maxn],siz[maxn],son[maxn],fa[maxn],top[maxn];
void ade(int u1,int v1,int w1){v[cnt]=v1,w[cnt]=w1,nxt[cnt]=fir[u1],fir[u1]=cnt++;}
void getson(int u)
{
    siz[u]=1;
    view(u,k)if(v[k]!=fa[u])
    {
        fa[v[k]]=u,dep[v[k]]=dep[u]+1,dis[v[k]]=dis[u]+w[k],tofa[v[k]]=w[k],getson(v[k]),siz[u]+=siz[v[k]];
        if(siz[son[u]]<siz[v[k]])son[u]=v[k];
    }
}
void gettop(int u,int anc)
{
    dfn[u]=++tim,to[tim]=u,top[u]=anc;
    if(son[u])gettop(son[u],anc);
    view(u,k)if(v[k]!=fa[u]&&v[k]!=son[u])gettop(v[k],v[k]);
}
void mark(int u,int k){sz[u]+=k,mksz[u]+=k;return;}
void mark2(int u,int k){tr[u]+=k*ad[u],mk[u]+=k;}
void pd2(int u){if(mk[u]){mark2(ls,mk[u]),mark2(rs,mk[u]),mk[u]=0;}}
void pd(int u){if(mksz[u])mark(ls,mksz[u]),mark(rs,mksz[u]),mksz[u]=0;}
void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r){ad[u]=tofa[to[l]];return;}
    build(ls,l,mi),build(rs,mi+1,r),ad[u]=ad[ls]+ad[rs];
}
void addsz(int u,int l,int r,int x,int y,int k)
{
    if(x<=l&&r<=y){mark(u,k),mark2(u,k);return;}
    pd(u),pd2(u);
    if(x<=mi)addsz(ls,l,mi,x,y,k);
    if(y>mi)addsz(rs,mi+1,r,x,y,k);
    sz[u]=max(sz[ls],sz[rs]),tr[u]=tr[ls]+tr[rs];return;
}
LL que(int u,int l,int r,int x,int y)
{
    if(x<=l&&r<=y)return tr[u];
    pd2(u);LL res=0;
    if(x<=mi)res=que(ls,l,mi,x,y);
    if(y>mi)res+=que(rs,mi+1,r,x,y);
    return res;
}
int ask(int u,int l,int r)
{
    if(l==r)return l;
    pd(u);
    if((sz[rs]<<1)>=sumall)return ask(rs,mi+1,r);
    return ask(ls,l,mi);
}
void addrd(int u,int k)
{
    while(top[u]!=1)addsz(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u],k),u=fa[top[u]];
    addsz(1,1,n,1,dfn[u],k);
}
LL askrd(int u)
{
    LL res=0;
    while(top[u]!=1)res+=que(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u]),u=fa[top[u]];
    res+=que(1,1,n,1,dfn[u]);return res;
}
int main()
{
    memset(fir,-1,sizeof(fir));
    n=read(),q=read();
    rep(i,1,n-1){int x=read(),y=read(),z=read();ade(x,y,z),ade(y,x,z);}
    getson(1),gettop(1,1),build(1,1,n);
    while(q--)
    {
        int x=read(),y=read();addrd(x,y),sumall+=y,sumlen+=dis[x]*y;
        int wt=to[ask(1,1,n)];LL tmp=askrd(wt);
        write(sumlen+sumall*dis[wt]-tmp*2);
    }
    return 0;
}