bzoj1856

Posted 2020-10-05 123456

卡特兰数 组合数优化

毫无头绪。。。

其实我们发现，我们可以把字符串的选择转换一下，我们建立坐标系，起初我们在原点(0,0),每次可以走(1,1)或(1,-1),希望最终到达(n+m,n-m),并且不经过y=-1

那么我们就可以用类似卡特兰数的方法解决这个问题，先算出随便走的方案数，我们一共要走n+m步，然后其中n步是(1,1),其他m步是(1,-1),那么一共的方案数就是

C(n+m,n),然后计算不合法的方案数，也就是经过y=-1的方案数，那么我们转换一下，把起点放在(0,-2),这样其实是对称了一下，把起点关于y=-1作对称点，那么我们现在解一下x，y,x+y=n+m,x-y=n-m+2,所以x=n+1,y=m-1,那么方案数就是C(n+m,n+1)或C(n+m,m-1),两者相减就是答案

这个转化很奥妙啊

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 20100403ll;
long long n, m;
long long power(long long x, long long t)
{
    long long ret = 1ll;
    for(; t; t >>= 1ll, x = x * x % mod) if(t & 1ll) ret = ret * x % mod;
    return ret;
}
long long fac(long long x) { long long ret = 1ll; for(; x; --x) ret = ret * x % mod; return ret; }
long long inv(long long x) { return power(x, mod - 2ll); }
long long C(long long n, long long m) { return fac(n) * inv(fac(m)) % mod * inv(fac(n - m)) % mod; }
int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    printf("%lld\n", ((C(n + m, n) - C(n + m, m - 1)) % mod + mod) % mod);
    return 0;
}

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