CCF系列之有趣的数(201312-4)

Posted 2020-06-29 一只猫的旅行

题目链接： http://115.28.138.223:81/view.page?opid=4

试题名称： 有趣的数 

时间限制： 1.0s 

内存限制： 256.0MB 

问题描述： 问题描述

　　　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　　　3. 最高位数字不为0。
　　　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
　　　　输入格式
　　　　　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
　　　　输出格式
　　　　　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
　　　　样例输入
　　　　　　4
　　　　样例输出

　　　　　　3 

解题思路:　

1. 在满足题意的情况下，首位只能是2

　　　　最高位不为0，

　　　　如果最高位为1，则不满足0在1之前，

　　　　最高位为3则不满足2在3之前，

　　　　所以最高位只能为2.

　　2、在网上找了个动态规划的方法，研究了一晚上大概是这样理解的：

　　　　前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。

　　　　首先考虑0、1、2、3四位的方法，不考虑四位以上。

　　　　那么我可以把哪个数字放在首位呢？0？首位不能是0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1？那么0该放哪呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2。挺合适

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3？那么2该放哪呢？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我们获得了第一步骤——放2，一个数字2

 

　　　　现在我们来接着第一步骤继续：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我们现在成功放了2了，那么剩下0、1、3。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20？可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23？可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21？0该放哪里？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我们获得了第二步骤——放0，两个数字 2和0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以及第三步骤——放3，两个数字 2和3

 

　　　　我们现在先研究第二步骤——放0，两个数字 2和0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我们现在放了20了，那么剩下1、3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　201？可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　203？也可以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我们获得了第四步骤——放1，三个数字 2 0 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以及第五步骤——放3 三个数字 2 0 3

 

　　　　我们现在来接着研究第三步骤：放3，两个数字 2和3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　230？可以，这是第五步骤

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　231？0该放哪里？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以第三步骤可以和第五步骤建立联系

 

　　　　我们最后研究第四步骤: 放1，三个数字 2 0 1 和 第五步骤：放3 三个数字 2 0 3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   2031?刚好放完四个数字

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以我们获得了第六步骤：四个数字0123放完====================================================================

　　总结：

　　　　第一步骤：2               剩余 0 1 3

　　　　第二步骤：2 0　　　　 剩余 1 3

　　　　第三步骤：2 3　　　　 剩余 0 1

　　　　第四步骤：2 0 1　　　 剩余 3

　　　　第五步骤：2 0 3　　　 剩余 1

　　　　第六步骤：2 0 3 1       剩余 无

　　流程图如下：

　　　　　

　　根据动态规划的思想：

　　前n步所有的最优解=前n-1步所有的最优解+第n步的最优解。

　　　　　　首先，两个动态增加的量，一个是数字的位数N，另一个是0、1、2、3中出现的个数（虽然要求都至少出现一次，但　　　是为了维护思想的完整性，所以从出现1个，2个。。。一直递推到4个，额，好像1个、2个完了后，再有个3个就递推到4　　　个了，算了，不要在意这些细节）。
　　　　　数字的位数从1增加到N没有问题。
　　　　　关键我们来看看第二个增量。

　 状态2和状态3的最优解，依赖于状态1；状态4的最优解依赖于状态2，状态5的最优解依赖于状态2和状态3，状态6的最优解，依赖于状态4和状态5.

3、根据状态之间的转化进行递推：

建立一个二维数组a[N][6],横坐标表示数位N，纵坐标表示刚才的6种状态。

这样的话：

a[ ][ 0 ]就是状态一     // 2　　　　　 剩余 0 1 3

a[ ][ 1 ]就是状态二　　// 2 0　　　　剩余 1 3

a[ ][ 2 ]就是状态三　　// 2 3　　　　剩余 0 1

a[ ][ 3 ]就是状态四　　// 2 0 1　　   剩余 3

a[ ][ 4 ]就是状态五　　// 2 0 3　　　剩余 1

a[ ][ 5 ]就是状态六　　// 2 0 1 3　　剩余 无

 

 

第i位出现第j种状态的情况数表示为 a[i][j]      

i位数的来源在于（i-1）位数（已经按顺序排列）+最后一位数字
例如：

　　a[i][0] = a[i-1][0] ;

　　　　　　使用过2 的情况可以由：   前i-1位使用2（状态1），第i位使用2

 

　　a[i][1] = (a[i-1][0] + a[i-1][1] *2);
　　　　　　使用过 2 0 的情况可以由：前i-1位使用2（状态1），第i位使用0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 0（状态2），第i位使用0或2  （顺序正确）

　　　　 a[i][2] = (a[i-1][0] + a[i-1][2] );
　　　　　　　　  使用过 2 3 的情况可以由：前i-1位使用2（状态1），第i位使用3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 3（状态3），第i位使用3  （因为已经有了3了不能用2了，只能用3） 

　　　　 a[i][3] = (a[i-1][1] + a[i-1][3] *2);
　　　　　　　　 使用过 2 0 1 的情况可以由：前i-1位使用2 0（状态2），第i位使用1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  前i-1位使用2 0 1（状态4），第i位使用1或2　（因为已经有了1了不能用0了，只能用1）

　　　　 a[i][4] = (a[i-1][1] + a[i-1][2] + a[i-1][4] *2);
　　　　　　　　 使用过 2 0 3 的情况可以由： 前i-1位使用2 0（状态2），第i位使用3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 3（状态3），第i位使用0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 0 3（状态5），第i位使用0或3 （因为已经有了3了不能用2了，只能用3）
　　　　　　

　　　　 a[i][5] = (a[i-1][3] + a[i-1][4] + a[i-1][5] *2);
　　　　　　　　使用过2 3 0 1的情况可以由： 前i-1位使用2 0 1（状态4），第i位使用3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 0 3（状态5），第i位使用1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前i-1位使用2 3 0 1（状态6），第i位使用1或3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（因为已经有了1了不能用0了，只能用1）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（因为已经有了3了不能用2了，只能用3）

　　　　题目要求的答案为a[n][5],即0 1 2 3都使用过。

4.注意答案可能非常大，会爆int，应用long long。

　　由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

　　mod = 1000000007;

 1         a[0][0] = 1;
 2         for (int i = 1; i < N; i++) {
 3             j = i - 1;
 4             a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod;
 5             a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod;
 6             a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod;
 7             a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod;
 8             a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod;
 9             a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod;
10         }
11         System.out.println(a[N - 1][5]);    

5.代码如下（java）：

版本1（完全符合以上分析，好理解）：

 1 package ccf_text;
 2 
 3 import java.util.Scanner;
 4 
 5 public class MainD2 {
 6     public static void main(String[] args) {
 7         Scanner in = new Scanner(System.in);
 8         int N = in.nextInt();
 9         long a[][] = new long[N][6];
10         int j = 0;
11         long mod = 1000000007;
12         // 2
13         // 2 0
14         // 2 3
15         // 2 0 1
16         // 2 0 3
17         // 2 0 1 3
18         a[0][0] = 1;
19         for (int i = 1; i < N; i++) {
20             j = i - 1;
21             a[i][0] = (a[j][0] * 1) % mod;
22             a[i][1] = (a[j][0] * 1 + a[j][1] * 2) % mod;
23             a[i][2] = (a[j][0] * 1 + a[j][2] * 1) % mod;
24             a[i][3] = (a[j][1] * 1 + a[j][3] * 2) % mod;
25             a[i][4] = (a[j][1] * 1 + a[j][2] * 1 + a[j][4] * 2) % mod;
26             a[i][5] = (a[j][3] * 1 + a[j][4] * 1 + a[j][5] * 2) % mod;
27         }
28         System.out.println(a[N - 1][5]);
29     }
30 }

版本2（标准答案）：

 1 package ccf_text2013_12;
 2 
 3 import java.util.*;
 4 /**
 5  * 我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
 6 　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
 7 　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
 8 　　3. 最高位数字不为0。
 9 　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
10 　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
11  * @author Hello stranger
12  *
13  */
14 public class InterstingData {
15     public static void main(String[] args) {
16         new InterstingData().run();
17     }
18 
19     public void run() {
20         Scanner fin = new Scanner(System.in);
21 
22         int N = fin.nextInt();
23         long[] count = new long[8];
24         count[6] = 0;
25         count[7] = 1;
26         long mod = 1000000007;
27         for (int i = 2; i <= N; ++i) {
28             long[] newCount = new long[8];
29             newCount[0] = (count[0] * 2 + count[1] + count[3]) % mod;
30             newCount[1] = (count[1] * 2 + count[2] + count[5]) % mod;
31             newCount[2] = (count[2] + count[6]) % mod;
32             newCount[3] = (count[3] * 2 + count[4] + count[5]) % mod;
33             newCount[4] = (count[4] + count[7]) % mod;
34             newCount[5] = (count[5] * 2 + count[6] + count[7]) % mod;
35             newCount[6] = 0;
36             newCount[7] = 1;
37 
38             count = newCount;
39         }
40 
41         System.out.println(count[0]);
42     }
43 }

 

6.运行结果示例：