差分约束系统简单介绍（入门）

Posted 2020-10-04 C语言OIER

差分约束系统，就是把一下限制条件转换成图论中的边，然后通过求最短路径解决问题。

一直不知道差分约束是什么类型题目，最近在写最短路问题就顺带看了下，原来就是给出一些形如x-y<=b不等式的约束，问你是否满足有解的问题

好神奇的是这类问题竟然可以转换成图论里的最短路径问题，下面开始详细介绍下

比如给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我们可以把a,b,c转换成三个点，k1，k2，k3是边上的权，如图

由题我们可以得知，这个有向图中，由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比较k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了

根据以上的解法，我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径，没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c -a<=k的一个

推广的不等式约束，既然这样，满足题目的肯定是最小的k，也就是从a到c最短距离...

理解了这里之后，想做题还是比较有困难的，因为题目需要变形一下，不能单纯的算..

首先以poj3159为例,这个比较简单，就是给出两个点的最大差，然后让你求1到n的最大差，直接建图后用bellman或者spfa就可以过了

稍微难点的就是poj1364，因为他给出的不等式不是x-y<=k形式，有时候是大于号，这样需要我们去变形一下，并且给出的还是>,<没有等于，都要变形

再有就是poj1201，他要求出的是最长距离，那就要把形式变换成x-y>=k的标准形式

注意点:

1. 如果要求最大值想办法把每个不等式变为标准x-y<=k的形式,然后建立一条从y到x权值为k的边,变得时候注意x-y<k =>x-y<=k-1

   如果要求最小值的话,变为x-y>=k的标准形式，然后建立一条从y到x的k边，求出最长路径即可

2.如果权值为正，用dj，spfa，bellman都可以，如果为负不能用dj，并且需要判断是否有负环，有的话就不存在