卷积相关

Posted 2020-10-04

1.　单位复数根

1.1.　复数

　　为了解决负数开方的问题, 人们引入了虚数单位 $i = \sqrt{-1}$ .

　　形如 $a + bi$ 的数被称为复数, $a$ 称为复数的实部, $b$ 称为复数的虚部.

 

　　以实部为 $x$ 轴, 虚部为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系.

　　我们称这个平面为复平面.

　　在复平面中, 点与复数一一对应, 向量与虚数也一一对应.

 

　　为此, 我们还得到了复数的三角表示.

　　$a + bi = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ , 其中 $r = \sqrt{a ^ 2 + b ^ 2}$ .

1.2.　复数的运算

　　对于复数, 我们定义加法运算.

　　$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ .

　　几何意义: 复平面上, 对应向量的加法, 即遵循三角形法则和平行四边形法则.

 

　　我们定义乘法运算.

　　$(a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ .

　　用三角形式进行研究:

　　$r(\cos \theta + i \sin \theta) \times r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) = rr_1 [\cos (\theta + \theta_1) + i \sin (\theta + \theta_1)]$ .

　　几何意义: 将 A 相同旋转 B 与 x 轴的夹角度数, 将长度变为原来的 |B| 倍.

 

　　进而可以推导出乘方运算.

　　${[r(\cos \theta + i \sin \theta)]} ^ n = r ^ n (\cos n\theta + i \sin n \theta)$ .

 

　　既然能够乘方, 我们同样能够开方, 就是所谓的伏地膜定理.

　　现在的问题是: 求 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ 的所有 $n$ 次方根.

　　设 $p(\cos \alpha + i \sin \alpha) = \sqrt[n]{r(\cos \theta + i \sin \theta)}$ .

　　$p ^ n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) = r (\cos \theta + i \sin \theta)$ .

　　$p ^ n = r, n\alpha \equiv \theta(\mod 2\pi)$ .

　　$p = \sqrt[n]{r}, \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n}, k \in Z$ .

　　由此可知当 $k = 0, 1, ..., n-1$ 时, 一共有 $n$ 个根 $\alpha = \frac{\theta}{n}, \frac{\theta + 2\pi}{n} , ..., \frac{\theta + (n-1)\pi}{n}$ .