数字信号处理相关函数 ( 卷积与交换性 | 相关函数不具有交换性 | 推导过程 )

Posted 2022-03-04 韩曙亮

文章目录

• 一、卷积与交换性
• • 1、卷积概念
  • 2、卷积交换律
• 二、相关函数交换性

一、卷积与交换性

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1、卷积概念

对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 $x(n)$ 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , $y(n)$ 是 " 输出序列 " ,

则有 :

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$$

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

参考 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 ) 博客 ;

2、卷积交换律

线性卷积 具有 交换性 ;

$$x(n)\ast h(n)=h(n)\ast x(n)$$

参考 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 周期性分析 | 卷积运算规律 | 交换律 | 结合律 | 分配率 | 冲击不变性 ) 博客 ;

二、相关函数交换性

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$x(n)$ 卷积 $h(n)$ 的结果 等于 $h(n)$ 卷积 $x(n)$ 的结果 ;

但是 " 相关函数 " 不具有交换性 ;

$x(n)$ 与 $y(n+m)$ 的相关函数 $r_{xy}(m)$ 如下 :

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)y(n+m)$$

这里先给出结论 ,

$x(n)$ 与 $y(n+m)$ 的相关函数 $r_{xy}(m)$ ,

不等于

$y(n)$ 与 $x(n+m)$ 的相关函数 $r_{yx}(m)$ ,

相关函数 , 不具有 交换性 ;

$x(n)$ 与 $y(n+m)$ 的相关函数 $r_{xy}(m)$ 如下 :

$$r_{yx}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}^{\ast }(n)x(n+m)$$

令 $n+m=n^{\prime }$ ,

$n$ 的取值范围是 $-\infty$ ~ $+\infty$ ,

则 $n^{\prime }$ 取值范围也是 $-\infty$ ~ $+\infty$ ,

使用 $n=n^{\prime }-m$ 替换 $n$ ,

$$r_{yx}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}^{\ast }(n^{\prime }-m)x(n^{\prime }-m+m)$$

$$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}^{\ast }(n^{\prime }-m)x(n^{\prime })$$

$$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{y}^{\ast }(n-m)x(n)$$

$$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)y^{\ast }(n-m)$$

根据 复数共轭 运算公式 $(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$ ,

将 ${\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)y^{\ast }(n-m)$ 的 共轭 取到 加和符号 $\sum$ 外面 ,

$x(n)$ 需要加上共轭 $x^{\ast }(n)$

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