bzoj 1690: [Usaco2007 Dec]奶牛的旅行——分数规划+spfa判负环

Posted 2020-10-04 友人A

Description

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。

很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。

按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。

由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。

尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。

对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。

奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。

为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。

当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。

顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：L 和 P

* 第2..L+1行: 第i+1行仅有1个整数：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3个用空格隔开的整数：L1_i，L2_i以及T_i， 描述了第i条道路。

Output

* 第1行: 输出1个实数，保留到小数点后2位（直接输出，不要做任何特殊的取 整操作），表示如果奶牛按题目中描述的一系列规则来安排她们的旅 行的话，她们能获得的最大平均乐趣值

Sample Input

5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2

Sample Output

6.00

输出说明:如果奶牛选择1 -> 2 -> 3 -> 5 -> 1的旅行路线，她们能得到的总乐趣值
为60，为此她们得花费10单位的时间在走路上。于是她们在这次旅行中的平均乐
趣值为6。如果她们走2 -> 3 -> 5 -> 2的路线，就只能得到30/6 = 5的平均乐
趣值。并且，任何去参观建筑物4的旅行路线的平均乐趣值都没有超过4。

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又是一道分数规划 首先同设每条边代价为ci（价值就是他指向的点的价值）,距离为di

那么题目要求(∑(ci*xi))/(∑(di*xi))的最大值 xi∈{0,1}

我们一样的进行一波转换

z=(∑(ci*xi))-r‘*(∑(di*xi))，其中z是左边这个式子的最大值

由于di为正数，xi为非负数，所以

r‘>r 时 z(r‘)<0

r‘=r 时 z(r‘)=0

r‘<r 时 z(r‘)>0

然后二分求答案

不过因为环的缘故 我们可以利用spfa（其实函数名叫dfs）的方法求负环

当然这里求的是负环 但是其实如果存在负环其实是z（r‘）大于0 

这是代码具体实现的问题辣

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=1e3+7;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) f=-1; c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){ans=ans*10+(c-‘0‘); c=getchar();}
    return ans*f;
}
bool f;
int n,m,v[M];
int first[M],cnt;
struct node{int to,next,w; double h;}e[10*M];
void ins(int a,int b,int w){e[++cnt]=(node){b,first[a],w,0}; first[a]=cnt;}
int vis[M];
double d[M];
void dfs(int x){
    vis[x]=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next){
        int now=e[i].to;
        if(d[now]>d[x]+e[i].h){
            if(vis[now]){f=true; return ;}
            d[now]=d[x]+e[i].h;
            dfs(now);
        }
    }
    vis[x]=0;
}
bool check(double k){
    for(int i=1;i<=cnt;i++) e[i].h=k*e[i].w-v[e[i].to];
    for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=vis[i]=0;
    f=false; 
    for(int i=1;i<=n;i++){dfs(i); if(f) return 1;}
    return 0;
}
int main()
{
    int x,y,w;
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) x=read(),y=read(),w=read(),ins(x,y,w);
    double l=0.0,r=10000;
    while(r-l>1e-3){
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }printf("%.2f\n",l);
    return 0;
}

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