bzoj2048[2009国家集训队]书堆 数论

Posted 2020-10-03 GXZlegend

题目描述

输入

第一行正整数 N M

输出

一行（有换行符），L，表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数)

样例

#1
Input: 1 100
Output: 49
#2
Input: 2 100
Output: 74

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题解

数论

一个结论：桌面上摆$n$本长度为$l$的书，不掉出桌面，能够伸出桌面的最大长度为$\frac 12l*H_n$，其中$H_n=\sum\limits_{i=1}^n\frac 1i$。

证明：设i本书按该条件摆放，它们的重心距离最下面的书的边缘的距离为$\frac12l*f(i)$，那么首先有$f(1)=1$，而考虑$i$本书的情况，上面的$i-1$本的重心一定是在第$i$本的边缘上。那么由杠杆原理，$(i-1)*f(i)=1*(1-f(i))$可知，故$f(i)=\frac 1i$。而每次都是重心落在边缘，所以伸出长度即为每次的重心与边缘的距离之和$H_n$。

但是$n$有$10^18$之大，直接暴力肯定使不可取的。考虑调和级数的近似值：$H_n\approx ln(n+1)+\gamma$，其中$\gamma$为欧拉常数，它约为0.57721566490153286060651209。

这个公式当$n$较小时误差较大，所以当$n$较小时考虑暴力求解，$n$较大时套用公式。

#include <cmath>
#include <cstdio>
typedef long long ll;
int main()
{
	ll n , m , i;
	double ans = 0;
	scanf("%lld%lld" , &n , &m);
	if(n <= 1000000)
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			ans += 0.5 / i;
	else ans = 0.5 * (log(n + 1) + 0.5772156649);
	ans *= m;
	printf("%d\n" , (int)(ans - 1e-9));
	return 0;
}