bzoj 2257[Jsoi2009]瓶子和燃料 数论/裴蜀定理

Posted 2020-11-04 cellur925&Chemist

题目

Description

jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。
有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只
在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。
火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料
库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料；
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能
得到的最小正体积。
jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。

Input

第1行：2个整数N,K， 
第2..N 行：每行1个整数，第i+1 行的整数为Vi 

Output

仅1行，一个整数，表示火星人给出燃料的最大值。

 

Sample Input

3 2

3

4

4

Sample Output

4

 

 

一句话题意

本来只是想单纯地学习一下裴蜀定理，没想到碰到了这题。乍一看好眼熟啊，这不就是学姐出的一道几乎一模一样的题吗（逃。讲那题时说了裴蜀定理，当时还听懂了，只是下课后就忘了orz，但是最后还说解决这题用分块（？？？

 

那么我们先来看一看裴蜀定理吧

从oi的角度看，裴蜀定理：

对于任意整数a,b，存在一对整数x,y使 ax+by=gcd(a,b)

 

证明部分可以出门左转baidu...

那么跟本题有什么关系呢？看了好多log的博客，都对求gcd的原因一带而过。然而我太蒟啊，看不出这是显然的。

先看两个瓶子的情况，如果两个瓶子的容量分别为a,b，那么两个瓶子乱搞出的容量为ax+by,又因为gcd(a,b)|ax+by，

所以最小体积为gcd(a,b)。推广到n个瓶子，就是这n个瓶子容量的gcd。

这话不是我说的是另一位神犇说的

 

代码搞一搞（vector用不好，只能用朴素的方法

 1 #include<cmath>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<vector>
 5 using namespace std;
 6 int n,k,ans=1,step;
 7 int cnt[1500000];
 8 
 9 bool cmp(int a,int b)
10 {
11     return a>b;
12 }
13 
14 void apart(int x)
15 {
16     for(int i=1;i*i<=x;i++)
17     {
18         if(x%i==0)
19         {
20             cnt[++step]=i;
21             if(x/i!=i) cnt[++step]=x/i;
22         }
23     } 
24 }
25 int main()
26 {
27     scanf("%d%d",&n,&k);
28     for(int i=1;i<=n;i++)
29         {
30             int x=0; 
31             scanf("%d",&x);
32             apart(x);
33         }
34         sort(cnt+1,cnt+step+1,cmp);
35         for(int i=1;i<=step;i++)
36         {
37             if(cnt[i]==cnt[i-1])
38             {
39                 ans++;
40                 if(ans==k)
41                 {
42                     printf("%d",cnt[i]);
43                     return 0;
44                   }
45             }
46             else ans=1;
47         }
48     
49     return 0;
50 }

View Code

 

 

 

 

更多的有关裴蜀定理

 

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

　　ax + by = m

　　有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。

　　例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

　　特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

　　裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。