算法导论习题 通用汇点

Posted 2020-10-03

来自习题22.1-6

给出O(V)时间算法判断有向图G是否存在一个通用汇点(universal sink)。通用汇点指的是入度为|V|-1，出度为0的节点。

思路：

考虑图的邻接矩阵A，假设i为通用汇点，则对于0<=j<n，有A[i][j]=0，且对于所有0<=k<n and k != i，有A[k][i] = 1，注意这里k!=i

相当于在子矩阵A[0..i][0..i]的右边和下边造了一个围墙，最下边全是0，最右边除了右下角外全是1

那么可以令游标从矩阵左上角开始，遇1向下，逢0向右，直到行或列超出矩阵A的界限，注意不是子矩阵。此时若游标所在行没有超出界限，那和这个行号 r 就可能是通用汇点编号。

接下来再根据定义验证 r 是否就是通用汇点。因为可能存在以下的情况：

x x x x 1 x x x
x x x x 1 x x x
x x x x 1 x x x
x x x x 1 x x x
0 0 0 0 0 0 0 0
x x x x 0 x x x
x x x x 0 x x x
x x x x 0 x x x

矩阵第5行所表示的节点显然不是通用汇点。