算法导论习题—堆排序快速排序

Posted 2022-11-25 之墨_

算法基础习题—堆排序、快速排序

• • • • • $1.$(堆排序)对于一个按升序排列的包含n个元素的有序数组A来说，HEAPSORT的时间复杂度是多少？如果A是降序的呢？
        • $(a).$(快速排序)假设快速排序的每一层所做的划分的比例都是$1-\alpha :\alpha$，其中$0<\alpha \le 1/20<\alpha \le 1/2$且是一个常数。试证明：在相应的递归树中，叶节点的最小深度大约为$-lgn/lg\alpha$，最大深度大约是$-lgn/lg(1-\alpha )$(无需考虑整数舍入问题)。
        • $(b).$试证明:在一个随机输人数组上，对于任何常数$0<\alpha \le 1/2$，$PARTITION$ 产生比$1-\alpha :\alpha$更平衡的划分的概率约为$1-2\alpha$.

$1.$(堆排序)对于一个按升序排列的包含n个元素的有序数组A来说，HEAPSORT的时间复杂度是多少？如果A是降序的呢？

​ 对一个按升序排列的$n$个元素的有序数组$A$，采用$HEAPSORT$时需要通过$BUILD-MAX-HEAP$构造大顶堆$($构造小顶堆同理$)$，而调用一次$BUILD-MAX-HEAP$需要的时间为$O($$n)$，调用$MAX-HEAPIFY$需要时间为$O(\lg n)$，$n$个元素需要调用$n-1$次$MAX-HEAPIFY$，故时间复杂度为${\sum }_{i=1}^{n-1}i+\lg i=\lg ((n-1)!)=\Theta (n\lg n)$。

​ 对于降序的数组$A$，在构造大顶堆时的速度更快，但仍然是线性时间内，即时间复杂度$O(n)$，而调用$MAX-HEAPIFY$的时间复杂度与升序排列时相同，所以$A$为降序时的时间复杂度也为$\Theta (n\lg n)$。

$(a).$(快速排序)假设快速排序的每一层所做的划分的比例都是$1-\alpha :\alpha$，其中$0<\alpha \le 1/20<\alpha \le 1/2$且是一个常数。试证明：在相应的递归树中，叶节点的最小深度大约为$-lgn/lg\alpha$，最大深度大约是$-lgn/lg(1-\alpha )$(无需考虑整数舍入问题)。

​ 证：对于递归树中的叶结点深度，最小的深度由划分比例中较小的分支决定，对于$0<\alpha \le 1/2$，则当到达叶结点时，深度$h$满足${\alpha }^{h}n=1$,即$h={\log }_{\alpha }\frac{1}{n}=-\frac{\lg n}{\lg \alpha }$，则对应最大深度就是取$1-\alpha$时，同理可此时深度满足$(1-\alpha {)}^{h}n=1$，对应深度即$h=-\frac{\lg n}{\lg （1-\alpha ）}$。

$(b).$试证明:在一个随机输人数组上，对于任何常数$0<\alpha \le 1/2$，$PARTITION$ 产生比$1-\alpha :\alpha$更平衡的划分的概率约为$1-2\alpha$.

​ 证：要产生比$1-\alpha :\alpha$更平衡的划分，$\because 0<\alpha \le \frac{1}{2}\therefore 1-\alpha \ge \alpha$，则有$\alpha +\alpha =2\alpha$比例的数会产生比$1-\alpha :\alpha$更不平衡的划分，则 P