容斥原理

Posted 2020-10-03

　　今天我获得了对容斥原理更宏观的一些微小的审视。

 

　　在全集 $U$ 中， 我们有 $n$ 种性质 $P_1, P_2, ..., P_n$ , 它们对应 $U$ 的子集 $S_1, S_2, ..., S_n$ .

　　我们需要计算至少满足其中一种性质的元素个数， 即对所有限制条件取并， 即 $|S_1 \cup S_2 \cup ... \cup S_n|$ .

 

　　我们考虑用满足其中一个限制条件的集合大小， 减去满足其中两个限制条件的集合大小， 加上满足其中三个限制条件的集合大小， 以此类推。

　　$|S_1 \cup S_2 \cup ... \cup S_n| = |S_i| - |S_i \cap S_j| + |S_i \cap S_j \cap S_k| - ... + {(-1)} ^ {n-1}|S_1 \cap S_2 \cap ... \cap S_n|$ .

　　如此下来， 能保证每个集合中的元素被计算有且仅有一次， 不在集合中的元素没有被计算。

　　严谨地， 我们可以对 $S_1 \cup S_2 \cup ... \cup S_n$ 中的每个元素， 利用二项式定理进行计算其出现次数。

 

　　容斥原理除了解决对所有条件取并的问题， 还可以拓展到对所有条件取交的问题。

　　我们尝试利用减法原理， 用全集的大小减去不满足其中一个限制条件的元素个数。

　　$|S_1 \cap S_2 \cap ... \cap S_n| = |U| - |\overline{S_1} \cup \overline{S_2} \cup ... \cup \overline{S_n} |$ .

 

　　总结一下， 容斥原理用于解决计数问题， 将所有条件取并， 或者所有条件取交的限制条件进行转化。