容斥原理

Posted 2020-06-09

容斥原理是基本的计数方法。在计数时，我们要做到没有遗漏也没有重复，所以我们推出了一下公式：

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B) 

我比较懒，后面的情况自己推吧……(*^__^*) 嘻嘻……

下面给一道例题：

 

硬币购物

难度级别：C； 运行时间限制：1000ms； 运行空间限制：51200KB； 代码长度限制：2000000B

试题描述

现在一共有4种硬币，面值各不相同，分别为ci(i=1,2,3,4)。某人去商店买东西，去了tot次，每次带di枚ci硬币，购买价值为si的货物。请问每次有多少种付款方法。

输入

第一行包括五个数，分别为c1,c2,c3,c4和tot 接下来有tot行，每行五个数，第i+1行五个数依次为第i次购物所带四种硬币的数目和购买货物的价值（d1,d2,d3,d4,s ）。各行的数两两之间用一个空格分隔。

输出

一行，包括tot个数，依次为每次付款的方法数。两数之间用一个空格分隔。

输入示例

1 2 5 10 2 3 2 3 1 10 1000 2 2 2 900

输出示例

4 27

其他说明

数据范围：0<di,s<=100000,0<tot<=1000，数据面值最大不超过20，所给数据保证每次至少有一种付款方法。

首先dp预处理设F[i]为不考虑每种硬币的数量限制的情况下，得到面值i的方案数。则状态转移方程为

F[i]=Sum{F[i-C[k]] | i-C[k]>=0 且 k=1..4}

然后容斥原理

代码如下

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int c[5],d[5],tot;
 4 long long f[100001],ans;
 5 void work(int now,int num,int s)
 6 {
 7     if(s<0)return ;
 8     if(now==5)
 9     {
10         if(num%2==1) ans-=f[s];
11         else ans+=f[s];
12         return ;
13     }
14     work(now+1,num,s);
15     work(now+1,num+1,s-(d[now]+1)*c[now]);
16 }
17 int main()
18 {
19     scanf("%d%d%d%d%d",&c[1],&c[2],&c[3],&c[4],&tot);
20     f[0]=1;
21     for(int i=1;i<=4;i++)
22         for(int j=c[i];j<=100000;j++) f[j]+=f[j-c[i]];
23     for(int i=1;i<=tot;i++)
24     {
25         int s;
26         scanf("%d%d%d%d%d",&d[1],&d[2],&d[3],&d[4],&s);
27         ans=0;
28         work(1,0,s);
29         if(i==1) printf("%lld",ans);
30         else printf(" %lld",ans);
31     }
32     return 0;
33 }

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