容斥原理

Posted 2020-12-30 lnu161403214

1，交集（∩）

多个事件若需同时满足，则取交集

2，并集（∪）

满足任意一个事件即可，则取并集

3，容斥原理

即先容再斥，以集合为例，求集合并。

则可以先单独考虑每个集合，然后直接都加起来，这样的话集合间的交集就会被重复计数，所以就有了容斥原理来消除这个重复计数。 

其实就是在将问题分成单个问题来考虑，原问题可以表示为单个问题的并集，且交集很好求，就能很愉快地使用容斥原理了。

德摩根定律：非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q)，非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q)

有了这些知识就可以来分析杭电多校的一道题：

step1，当括号里的条件只为Xi>=0时，发现答案为C(k+m-1,m-1)

step2，再考虑有限制时，设集合A_i表示X_i超出限制，则原问题可以表示为非

这就显然可以容斥定理了。

step3，Xi超出了限制，则它的取值范围为Xi >= n，那么给Xi减去n便使它的取值范围又回到了step1，再结合下德摩根定律便能得到答案了。

代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<iostream>
#include<vector> 
#define MAXN 1000005 
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod = 998244353;
ll fact[200005], ifact[200005], inv[200005];

void init() {
    fact[0] = 1;
    for(int i=1;i<=200000;i++) fact[i] = fact[i-1] * i % mod;
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 200000; i++)
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
    ifact[0] = 1;
    for(int i=1;i<=200000;i++) ifact[i] = ifact[i-1] * inv[i] % mod;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    if(b>a||a<0||b<0) return 0;
    return (fact[a]*ifact[b]%mod)*ifact[a-b]%mod;
}
int main()
{
    int T;
    init();
    cin>>T;
    
    while(T--)
    {
        ll n,m,k;
        cin>>n>>m>>k;
        ll sum=0;
        
        for(ll i=0;i<=m;i++)
        {
            if(i%2==0)
            {
                sum=(sum+C(m,i)*C(k-i*n+m-1,k-i*n)%mod)%mod;
            }
            else sum=(sum-C(m,i)*C(k-i*n+m-1,k-i*n)%mod)%mod;
            
        }
        cout<<(sum+mod)%mod<<endl;
    }
    
}