斯特林数

Posted 2020-10-02 安

第一类Stirling数 s(p,k)

　　  

s(p,k)的一个的组合学解释是：将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

 

s(p,k)的递推公式： s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1

边界条件：s(p,0)=0 ,p>=1  s(p,p)=1  ,p>=0

 

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空循环排列，这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列，而第p个物品插入第i个物品的左边，这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。

 

 

第二类Stirling数 S(p,k)

　　 

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如：被标有房号）的房间(无空房）的方法数。

　　 

S(p,k)的递推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1

　　

递推关系的说明：

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；

也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

　　

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。

 

题目：HDU3625

 

题意：给N个元素，让我们求K个环排列的方法数。

斯特林第一类数的第推公式：

S（N，0）=0; S（N，N）=1； S（0，0）=0； S（N，K）=S（N-1，K-1）+S（N-1，K）*（N-1）；

 

这个公式的意思是：当前N-1个数构成K-1 个环的时候，加入第N个 ，N只能构成单环！—S（N-1，K-1）如果N-1个数构

成K个环的时候，加入第N个，N可以任意加入，N-1内的一个环里，所以（N-1）*S（N-1，K）这个题目里，因为不能破坏

第1个门：所以 S（N，K）-S（N-1，K-1）才是能算构成K个环的方法数！就是去掉1自己成环的情况 。

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 21

__int64 fac[N]={1,1};
__int64 stir[N][N];

void init()
{
    int i, j;
    for(i=2;i<N;i++)
        fac[i]=i*fac[i-1];
    memset(stir,0,sizeof(stir));
    stir[0][0]=0;
    stir[1][1]=1;
    for(i=2;i<N;i++)
       for(j=1;j<=i;j++)
           stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j];
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
         int n, k, i;
         scanf("%d %d",&n,&k);
         __int64 cnt=0;
         for(i=1;i<=k;i++)
             cnt+= stir[n][i] - stir[n-1][i-1];//注意：去掉1自己成环的
         printf("%.4lf\n",1.0*cnt/fac[n]);
    }
    return 0;
}

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