中国剩余定理(转)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了中国剩余定理(转)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?

说明白一点就是说,存在一个数x,除以3余2,除以5余三,除以7余二,然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前,需要先知道一下两个定理。

定理1:几个数相加,如果存在一个加数,不能被数a整除,那么它们的和,就不能被整数a整除。

定理2:两数不能整除,若除数扩大(或缩小)了几倍,而被除数不变,则其商和余数也同时扩大(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)。

这两个定理浅显易懂,自己找个例子就能理解,就不再赘述了。

现给出求解该问题的具体步骤:

1、求出最小公倍数

 lcm=3*5*7=105

2求各个数所对应的基础数

(1)105÷3=35

 35÷3=11......2 //基础数35

(2)105÷5=21

 21÷5=4......1

 定理2把1扩大3倍得到3,那么被除数也扩大3倍,得到21*3=63//基础数63

3105÷7=15

15÷7=2......1

定理2把1扩大2倍得到2,那么被除数也扩大2倍,得到15*2=30//基础数30

把得到的基础数加和(注意:基础数不一定就是正数)

35+63+30=128

4减去最小公倍数lcm(在比最小公倍数大的情况下)

x=128-105=23

那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。

(1)最小公倍数就不用解释了,跳过(记住,这里讨论的都是两两互质的情况)

(2)观察求每个数对应的基础数时候的步骤,比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除,就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的开始值,用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征,可以整除其他数但是不能被3整除,并且余数是2。体现的还不够明显,再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数,但是不能被5整除,用21除以5得到的余数是1,而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大,就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征,可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理,我们得到了第三个基础数23,那么他的特征就是:可以被其他数整除,但是不能被7整除,并且余数为2。

(3)第三步基础数加和,为什么要这样做呢?利用就是上面提到的定理1。

35+63+30=128。对于3来说,可以把63+30的和看作一个整体,应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征,运用定理1来说,就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数,那么得到的结果依然还是满足原先的性质的,就是128除以同样还是余2的。同理,对于5还说,这个数被除之后会剩余3;对于7来说,被除之后剩余2。所以说,我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的,那就不一定了。

(4)应该不能确定是不是最小的数,这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义,一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数,所以减去它剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然也同样可以运用定理1来解释,只不过是加法变成了减法,道理还是一样的。当然具体要不要剪还是要看和lcm的大小关系的。

稍微的总结一下:就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数,求最小的正整数x,使它被m1,m2,m3除所得的余数分别是c1,c2,c3。孙子定理的思想便是线分别求出被其中数mi整除余1而被两外两个数整除的数Mi(i=1,2,3),则所求数之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我们可以得到n个两两互质数的情况。证明上面已经一步一步给出。

那么,到此为止基本的中国剩余定理的内容我们以及了解了,包括解答方法。那么如何编码呢?按照上面这个思路去编码,其实并不难。一共分为四大步。但是,大多数人的困惑在于如何求取基础数。这里呢,提供两种方法:

(1)第一种就是一直递增,直到找到。例如:3的基础数,35是其他数的最小公倍数。那么就从35开始,一直自增,知道余数为2,便停止(利用while循环)。

(2)第二种方法呢就是辗转相除法上得来的。这里的例子体现的不够明显,应当看看去求取乘法逆元的过程,下面讲的内容和乘法逆元有很大的关系,所以还是看看的好。简单举个例子:

假设现在三个数分别是14,3,5,它们两两互质,且要求的数除以5余3。求5对应的基础数。有:

42÷5=8......2

5÷2=2......1

所以1=5-2*2=5-2*(42-8*5)=-2*42+17*5

那么-2*42=-84  17*5=85  -84+85=1

把1扩大3倍变成3,则有-84*3=-252也就是5对应的基础数。

第一点: 基础数可以是负数,这个之前点到过。//并且下面的解法就是有这样的。

第二点: 当得到余数为1的时候后面的算式相当于是一个回溯的过程,最后解到-2*42。 但是还只不过是余数是1的情况对应的数,再运用定理2我们就得到了-252这个基础数。实际上要是看过乘法逆元,这里实际就是乘法逆元的求解过程,而-2也就是42关于15取模的乘法逆元。

模板

/*long long gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}*/
#include<cstdio>
#define ll long long
//扩展欧几里得算法 
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){
        d=a;
        x=1,y=0;
    }
    else{//else不能省略 
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
//中国剩余定理 
ll China(int n,ll *m,ll *a)
{
    ll M=1,d,y,x=0;
    for(int i=0;i<n;i++) M*=m[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll w=M/m[i];
        gcd(m[i],w,d,d,y);
        x=(x+y*w*a[i])%M;
    }
    return (x+M)%M;
}
ll m[15],a[15];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
    printf("%lld",China(n,m,a));
}

转自:http://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html

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