漫话最小割 part1

Posted 2020-10-01

 

codeforces 724D

[n个城市每个城市有一个特产的产出，一个特产的最大需求。当i<j时，城市i可以运最多C个特产到j。求所有城市可以满足最大的需求和]

[如果直接最大流建图显然会T。考虑将最大流问题转换为最小割。每个城市会被划分到S集或者T集。]

[另dp[i][j]表示前i个城市有j个城市在S集的最大和。

dp(i,?j)?=?min(dp(i?-?1,?j?-?1)?+?s_i,?dp(i?-?1,?j)?+?p_i?+?j?*?c).

[将网络流转化为最小割，并用DP加以解决]

 

 

HDU 4971

[经典题变形: 有n个项目有收益，m个投资有花费。每个项目需要完成若干个投资，同时投资直接也有依赖关系]

[我们可以将收益先取走，将收益也转化为花费。S向项目连边，投资向T连边，流量都是对应花费。依赖关系的流量为INF。最小割即为答案]

 

 

Codechef SPCLN

[n个发射器，m个陨石。每个发射器可以打一些陨石并有收益。陨石被打直接有依赖关系，n个发射器依次发射。求最大收益]

[每个陨石用n+1个点的链表示，流量依次为每个发射器的花费(那个陨石拿100收益，多出来的为花费)，如果打不了就是INF。S连向第一个点，最后一个点连向T。陨石i依赖j，则在i的链的第k个连向j的链的k+1，流量为INF，最小割为答案]

 

 

[观察上面两个问题的特点。]

[1.有花费也有收益。对于收益，我们应该将其转化为花费以便最小割问题解决。单个物品的转换比较简单，先获得收益，再把收益变为花费。多个物品的转换，可以选择一个足够大的值获得，再把这个值减去收益变为花费。]

[2.有依赖关系。在还有收益的模型里依赖关系非常好理解，如果你想要获得这个好处，你必须blabla…。但应该我们将收益转化为花费，依赖关系就会变为这几个代价，你至少要挑一个承受。]

[由1，2。我们得到一个一般的最小割建模思路。首先将问题转换成若干个事件，每个事件有一个花费。有一些事件间的关系，每一个关系可以表述为：这些事件必须至少发生一件，或者，这些事件不能全不发生。于是我们可以用边刻画事件，流量为费用，如果不能发生就是INF。每一个关系我们将这些事件从S连到T。为了刻画关系更加方便，用INF的边单纯表示事件的连接,分为或连接和蕴含连接。或连接的实际意义是如果该连接之前的事件没有发生，则之后必须发生一件。蕴含连接的实际意义是如果该连接之前的事件发生，则之后得事件也要发生。两种连接的方式分别是尾连头，头连头]

[经过总结，我们得出一个结论。什么样的问题可以用最小割解决呢？逻辑上只包括或关系或者蕴含关系]