二维图形旋转公式的推导

Posted 2020-10-01 我是张洪铭我是熊博士

    关于二维图形旋转可能在很多计算机图形学相关的书籍上都会介绍，然而真正理解公式推导过程的却讲得不多。那么如何推导出二维图形绕某一点旋转的公式呢？我在这里就将其推导过程简要的说明一下。

其实推导过程比较简单，首先我们来看一幅图，看看如何推导出二维图形绕原点进行旋转的公式。

上图画的比较粗略，不过能说明问题就够了。假设旋转前的点位于P处，旋转之后的点位于P‘处。如何求旋转之后的点P‘坐标?

在图中，旋转之前P的方向角是a,旋转之后P‘的方向角就变为a+b，这里b就是旋转的角度，所谓方向角是改点和原点连线与X轴正向的夹角。旋转的正方向是逆时针

在图中，从P‘点向X轴引垂线，垂足为B点，根据三角形的基础知识，可以写出如下的等式。

公式1中的R就是点P以及P‘到原点的距离

由公式1，根据高中三角函数的知识，即和差公式得到如下等式2

通过观察上式，Rcos(a)=x,Rsin(a)=y，所以上式进一步花间可以得到下面的等式。

这个公式就是我们经常看到的二维图形旋转的公式，这样绕原点的旋转公式推导出来了，那么嗨经常碰到的绕某一点旋转的，比如绕着矢量图形的中心旋转的。在这种情况下，首先需要平移，然后旋转，最后平移回去，具体过程如下。

由上图可知，（x0,y0）是旋转的顶点，那么先将图形平移到原点，然后绕着原点旋转b角度，最后平移到（x0,y0）上去。

那么很容易可知绕任意一点（x0,y0）旋转的公式为

是不是比较简单，我觉得还行。