旋转体表面积公式推导及证明错误
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了旋转体表面积公式推导及证明错误相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
申明： 仅仅个人小记
举例探讨： y=f(x)连续,绕x轴旋转，求旋转体的表面积
用微元法求解旋转体表面积，
微元法的使用前提条件:实际量和近似量之间误差必须为高阶无穷小
显然，实际量是不好直接描述的(不然也就不会来采用定积分的方法了)，但是我们能够表述出实际量的估计范围。
正确的方案
实际量
Δ
S
r
∈
[
2
π
f
m
i
n
Δ
s
,
2
π
f
m
a
x
Δ
s
]
\\Delta S_r \\in [2\\pi f_min\\Delta s,2\\pi f_max\\Delta s]
ΔSr∈[2πfminΔs,2πfmaxΔs]
近似量为
2
π
f
(
x
)
Δ
s
2\\pi f(x) \\Delta s
2πf(x)Δs
要求实际量和近似量之差为高阶无穷小，这里的自变量为x。
计算误差：
Δ
E
=
Δ
S
r
−
2
π
f
(
x
)
Δ
s
∈
[
2
π
(
f
m
i
n
−
f
(
x
)
)
Δ
s
,
2
π
(
f
m
a
x
−
f
(
x
)
)
Δ
s
]
=
2
π
Δ
s
[
f
m
i
n
−
f
(
x
)
,
f
m
a
x
−
f
(
x
)
]
\\Delta E = \\Delta S_r - 2\\pi f(x) \\Delta s\\in [2\\pi(f_min-f(x))\\Delta s, 2\\pi(f_max-f(x))\\Delta s]=2\\pi\\Delta s[f_min-f(x),f_max-f(x)]
ΔE=ΔSr−2πf(x)Δs∈[2π(fmin−f(x))Δs,2π(fmax−f(x))Δs]=2πΔs[fmin−f(x),fmax−f(x)]
因为函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)连续，所以当
Δ
x
→
0
\\Delta x \\to 0
Δx→0，必然有
f
m
a
x
−
f
(
x
)
,
f
m
i
n
−
f
(
x
)
→
0
f_max-f(x) , f_min-f(x) \\to 0
fmax−f(x),fmin−f(x)→0又因为
Δ
s
=
1
+
f
′
(
x
)
2
Δ
x
\\Delta s= \\sqrt1+f'(x)^2\\Delta x
Δs=1+f′(x)2Δx，所以
lim
Δ
x
→
0
Δ
E
Δ
x
=
2
π
Δ
s
[
f
m
i
n
−
f
(
x
)
,
f
m
a
x
−
f
(
x
)
]
Δ
x
=
2
π
1
+
f
′
(
x
)
2
[
f
m
i
n
−
f
(
x
)
,
f
m
a
x
−
f
(
x
)
]
=
2
π
1
+
f
′
(
x
)
2
∗
0
=
0
\\lim_\\Delta x \\to 0 \\frac \\Delta E\\Delta x=\\frac 2\\pi\\Delta s[f_min-f(x),f_max-f(x)]\\Delta x=2\\pi \\sqrt1+f'(x)^2[f_min-f(x),f_max-f(x)]=2\\pi \\sqrt1+f'(x)^2*0=0
Δx→0limΔxΔE=Δx2πΔs[fmin−f(x),fmax−f(x)]=2π1+f′(x)2[fmin−f(x),fmax−f(x)]=2π1+f′(x)2∗0=0
所以当
Δ
x
→
0
\\Delta x \\to 0
Δx→0时，误差
Δ
E
\\Delta E
ΔE 恒为
o
(
Δ
x
)
o(\\Delta x)
o(Δx)，满足微元法的使用条件。
所以，
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)绕 x 轴旋转的旋转体的表面积为
S
=
∫
a
b
2
π
f
(
x
)
1
+
f
′
(
x
)
2
d
x
S=\\int_a^b2\\pi f(x)\\sqrt1+f'(x)^2dx
S=∫ab2πf(x)1+f′(x)2dx
易错的方案(解释为什么错)
容易认为旋转体的表面积公式是
S
=
∫
a
b
2
π
f
(
x
)
d
x
S=\\int_a^b2\\pi f(x)dx
S=∫ab2πf(x)dx
错误根因就是错误得使用了微元法，在没有满足微元法使用条件的情况下使用了微元法。
这个公式认为近似量为
2
π
f
(
x
)
Δ
x
2\\pi f(x)\\Delta x
2πf(x)Δx，而不是
2
π
f
(
x
)
Δ
s
2\\pi f(x) \\Delta s
2πf(x)Δs。我们来计算一下，看看
2
π
f
(
x
)
Δ
x
2\\pi f(x)\\Delta x
2πf(x)Δx是否满足“保证实际量和近似量误差为高阶无穷小”。
Δ
E
=
Δ
S
r
−
2
π
f
(
x
)
Δ
x
∈
[
2
π
(
f
m
i
n
Δ
s
−
f
(
x
)
Δ
x
)
,
2
π
(
f
m
a
x
Δ
s
−
f
(
x
)
Δ
x
)
]
=
2
π
[
f
m
i
n
Δ
s
−
f
(
x
)
Δ
x
,
f
m
a
x
Δ
s
−
f
(
x
)
Δ
x
]
=
2
π
[
f
m
i
n
1
+
f
′
(
x
)
2
Δ
x
−
f
(
x
)
Δ
x
,
f
m
a
x
1
+
f
′
(
x
)
2
Δ
−
f
(
x
)
Δ
x
]
=
2
π
Δ
x
[
1
+
f
′
(
x
)
2
f
m
i
n
−
f
(
x
)
,
1
+
f
′
(
x
)
2
f
m
a
x
−
f
(
x
)
)
]
\\Delta E = \\Delta S_r - 2\\pi f(x) \\Delta x\\\\\\in [2\\pi(f_min\\Delta s-f(x)\\Delta x), 2\\pi(f_max\\Delta s-f(x)\\Delta x)]\\\\=2\\pi[f_min\\Delta s-f(x)\\Delta x,f_max\\Delta s - f(x)\\Delta x]\\\\=2\\pi[f_min\\sqrt1+f'(x)^2\\Delta x-f(x)\\Delta x, f_max\\sqrt1+f'(x)^2\\Delta -f(x)\\Delta x]\\\\=2\\pi\\Delta x[\\sqrt1+f'(x)^2f_min-f(x),\\sqrt1+f'(x)^2f_max-f(x))]
ΔE=ΔS公式推导 圆面积公式 圆周长公式