NOIP2017模拟8.7好的排列

Posted 2020-10-01 ~Lanly~

Description

对于一个1->n的排列 ，定义A中的一个位置i是好的，当且仅当Ai-1>Ai 或者Ai+1>Ai。对于一个排列A，假如有不少于k个位置是好的，那么称A是一个好的排列。
现在有q个询问，每个询问给定n,k，问有多少排列是好的。答案对10^9+7取模。

 

Input

输入文件名为permutation.in。
首先输入q。
接下来输入q个询问n,k 。

Output

输出文件名为permutation.out。
输出q行，每行一个整数代表答案。

 

Sample Input

8
4 3
6 4
10 7
20 14
50 40
100 72
1000 900
3000 2000

Sample Output

8
448
1433856
868137807
908422882
609421284
150877522
216180189

 

Data Constraint

对于20%的数据，n<=10,q=1
对于40%的数据，n<=20,q=1
对于60%的数据，n<=100
对于100%的数据，n,k<=3000,q<=10000
 

 正难则反，我们可以考虑下“坏数字”（谷峰）（$a_{i-1} < a_{i}>a_{i+1}$）。数位动规，数字的位置变换我们可以想象成插入，令F[i][j]表示到第i个数字，此时有j个谷峰的合法插入方案数，则第i个数字如果查到j个坏数字的两侧，则不会产生新的“谷峰”，那么有2*j个位置，F[i][j]*(2*j)-->F[i+1][j]，如果插到其他位置，则会产生一个新的“谷峰”（序列两侧可以分别假想有个0），那么有(i-2*j)个位置，F[i][j]*(i-(2*j))-->F[i+1][j+1].初始条件F[1][1]=1，最后$ans=\sum _{i=1}^{n-k}f\left[ n\right] \left[ i\right]$

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #define qaq 1000000007
 6 using namespace std;
 7 int n,k,q;
 8 long long f[3002][3002];
 9 long long ans;
10 int main(){
11     freopen("permutation.in","r",stdin);
12         freopen("permutation.out","w",stdout);
13         f[1][1]=1;
14     for (int i=2;i<=3000;i++)
15      for (int j=1;j<=3000;j++)
16       if (!f[i][j])
17        f[i][j]=f[i-1][j]*(2*j)%qaq+f[i-1][j-1]*(i-2*(j-1))%qaq;
18     scanf("%d",&q);
19     while (q--){
20         scanf("%d%d",&n,&k);;
21          ans=0;
22          for (int i=n-k;i>=1;i--)
23           ans=(ans+f[n][i])%qaq;
24         printf("%lld\n",ans);
25     }
26     return 0;
27 }

神奇的代码

（事实上我们可以预处理n，k到3000的值最后再直接累加即可）