点乘和叉乘

Posted 2020-06-27

向量的点乘即数量积,记作a·b；其中a·b=｜a｜·｜b｜cosθ,｜a｜、｜b｜是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量
叉乘是向量积,记作a×b,a×b=｜a｜·｜b｜sinθ,其中｜a｜、｜b｜是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量。点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。 
向量a·向量b=|a||b|cos<a,b> 
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。 
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。 
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 
向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。 
因此 向量的外积不遵守乘法交换率，因为 

向量a×向量b=-向量b×向量a 
在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。 
将向量用坐标表示（三维向量）， 
若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)， 
则 
向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2 
向量a×向量b= 
| i j k| 
|a1 b1 c1| 
|a2 b2 c2| 
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) 
（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。