辗转相除法的原理

Posted 2020-06-27

简单证明辗转相除法的原理

 

1.

解析：

 

8251＝6105＋2146,为了表示简单,我就用a=b+c表示这个吧

  

于是有c=a-b  那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c, （d|a表示：d为a的约数）

 

可见a和b的公约数必然也是c的约数. 

现在假设d是a和b的最大公约数,那么d也必然是c的约数,于是d是b,c的公约数,

现在就要证明它是最大公约数：

 

 

2.

证明：

 

因为a=b+c,于是b,c的公约数也必然是a的约数,假设(b,c)=e, （(b,c)=e表示e为b和c的最大公约数）那么有e|b+c,即e|a 根据"d是b,c的公约数"知道d|e，, 又因为e

也是a,b的公约数,e|d,综上有e=d  可见(a,b)=(b,c)=d  

 

（这个思想一推广

,

就成了辗转相除法了）

 

15/6   余数一定小于6，会变得越来越小，最终变成最大公约数。