(计算机组成原理)第二章数据的表示和运算-第二节6：定点数除法运算（原码/补码一位除法）

Posted 2021-08-31 快乐江湖

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了(计算机组成原理)第二章数据的表示和运算-第二节6：定点数除法运算（原码/补码一位除法）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

一：除法运算基本思想
二：原码一位除法：恢复余数法
- （1）实现原理
- （2）手算模拟
三：原码一位除法：加减交替法（不恢复余数法）
四：补码一位除法
五：总结

一：除法运算基本思想

关于顶点数的除法，我们在小学其实就已经学习过了，就是列竖式除法,比如 $0.211 \div 0.985$ ，我们首先习惯同时扩大 $n$ 倍

在上面的例子中， $0.211 \div 0.985 = 0.214$ 余210，它就等价于 $0.211 = 0.985 \times 0.214 + 0.000210$ ，也就是说这可以转为成乘法的，也即

在计算机中，运算时使用的是二进制，比如 $x = 0.1011$ （被除数）， $y = 0.1101$ （除数）， $x \div y$ 如下

运算时忽略小数点，每确定一位商就进行一次减法，得到4位余数，在余数末尾补0，再确定下一位商，确定5位商即可停止（这里机器字长是5位）

如果补位后所得余数部分大于除数，那么就商1
如果补位后所得余数部分小于余数，那么就商0

和乘法一样，补全位数后就是下面这样

因此 $x \div y$ 结果为0.1101，余数为 $0.00000111$

二：原码一位除法：恢复余数法

（1）实现原理

逻辑看似很简单，但是如何让机器实现这是一个问题。其中符号位的处理就不用再强调了，和乘法一样，仍然使用异或完成，于是实际运算时采用两个数的绝对值完成。

$c a s e :$ 设机器字长为5位（ $n = 4$ ，一位符号位）， $x = 0.1011$ ， $y = 0.1101$ ，采用恢复余数法求 $x \div y$

$∣ x ∣ = 0.1011$
$∣ y ∣ = 0.1101$
$y|]_{补}=0.1101$
$y|]_{补}=1.0011$

还记得(计算机组成原理)第一章计算机系统概述-第二节：计算机硬件组成(存储器、运算器和控制器概述及计算机工作过程详解)这一节我们讲到过的运算器的组成吗，其中涉及除法时会用到 $A C C$ ， $M Q$ ， $X$ 这三个寄存器

开始的时候， $y$ 是除数，位于X寄存器内，ACC寄存器存放的是被除数（x）或余数，MQ中存放商，MQ中灰色加重的方格表示当前要确定的一位商

前面手算时，每一位商到底取0还是1，是通过判断当前余数和除数的大小确定的，因此很显然，我们的ACC寄存区和X寄存区天然就存储了余数和除数。但实际情况是，计算机并不会进行比较，它会不管三七二十一直接商1，如果出错再改为商0，并恢复余数

商1时，其实就是余数减去除数,也即是(ACC)-(X)->ACC

于是，这里首先计算机先商1（但是本应该先商0），因此此时就会求余数：(ACC)-(X)->ACC,也即(ACC)+ $y|]_{补}$ （计算机依靠加法实现减法），也即 $01011 + 10011 = 11110$

此时符号位1，计算机察觉错误，于是改为商0，同时既然是商0，那么就不应该减去除数，而应该减去0（什么也不做），所以这里直接采取逆过程，加上除数即可

所以现在我们就完成了一位的商，在手算中，我们商完一位后会错位一位补位，然后再商下一位，而在这里对应的就是将ACC和MQ中的内容逻辑左移即可

接着计算机再次商1，此时检查符号位为0，说明是正的，说明计算机没有商错误，那么不需要恢复余数

剩下的就是不断左移，运算的过程了。
最后我们假定的机器字长为5位，因此只能求5位的商。不过需要注意的是，如果最后一位商1后，导致了ACC出现负数，那么仍然需要改为0，并恢复余数

最后，我们这里举的例子是小数，所以其小数点的位置隐含在符号位后面。最后实际的余数是(ACC)× $2^{-n}$ （ $n$ 为机器字长）

（2）手算模拟

考试的时候，如果出到这样的题目，具体步骤如下
$c a s e :$ 设机器字长为5位（ $n = 4$ ，一位符号位）， $x = 0.1011$ ， $y = 0.1101$ ，采用恢复余数法求 $x \div y$

$∣ x ∣ = 0.1011$
$∣ y ∣ = 0.1101$
$y|]_{补}=0.1101$
$y|]_{补}=1.0011$

三：原码一位除法：加减交替法（不恢复余数法）

可以看出恢复余数法实际还是挺繁琐的，主要是当余数为负时，它还要加上除数，恢复到上一状态再左移。

而加减交替法是恢复余数的优化，具体规则为：若余数为负，直接商0，并让余数左移1位再加上除数

case : $设机器字长为 5 位（$ n=4 $，一位符号位），$ x=0.1011 $，$ y=0.1101 $，采用恢复余数法求$ x÷y$

$∣ x ∣ = 0.1011$
$∣ y ∣ = 0.1101$
$y|]_{补}=0.1101$
$y|]_{补}=1.0011$

注意：最后一步如果出现负数，仍然需要恢复余数！！！

四：补码一位除法

补码除法采用加减交替法完成，与原码除法的有所区别的是

符号位参与运算
被除数（余数）、除数采用双符号位

运算的具体细节区别如下

原码除法，首先一上来就会让被除数减去除数的绝对值的补码；在补码除法中，若被除数和除数同号，则被除数减去除数，如果异号，则被除数加上除数
得到新的余数后判断：若余数和除数同号，则商1，余数左移一位减去除数；若余数和除数异号，则商0，余数左移一位加上除数。
在原码除法中如果最后一步余数出现负值，那么需要进行恢复余数；在补码除法中，我们直接把最后一位商置为1即可，这样做很省事，其精度也不会超过 $2^{-n}$

$c a s e :$ 设机器字长为5位（ $n = 4$ ，一位符号位）， $+ x = 0.1000$ ， $y = - 0.1101$ ，采用补码加减交替法求 $x \div y$

$x]_{补}=00.1000$
$y]_{补}=11.0101$
$y]_{补}=00.1011$

因此最后的结果 $x/y]_{补}=1.0101$ ，余数为 $0.0111×2^{-4}$

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