老鼠毒药问题和它的扩展

Posted 2020-09-30 brucemengbm

这是一个传播得很广的问题：有1000瓶液体。当中一瓶是毒药。其它的都是清水。毒药看上去和水一样。仅仅能用老鼠来试验。老鼠在喝了毒药以后一个星期后一天内的随意时刻死亡。

最少须要多少仅仅老鼠才干找到毒药？

n瓶液体其中一瓶有毒，总共同拥有n种可能性，用集合N来表示。

一仅仅老鼠的生死能够用0、1表示。

r仅仅老鼠的生死构成了一个0、1串，这个0、1串能够表示2的r次方中结果，用集合R表示。

我们就是要找一个实验方法，通过这些老鼠的生死获取毒药的编号。

假设做个抽象，这个实验方法是F。F把N中元素分别映射到R上。我们从R中的结果能够猜測出这个N中元素。

所以R中的元素须要和N中的元素相等。

因此2的r次方等于n,  r = log(n)。

回到这个问题上来，理论上。我们须要10仅仅老鼠才干找出隐藏的毒药。

详细来说应该怎么操作呢，也就是我们要寻找一种算法。

以及这样的算法能否仅仅用10仅仅老鼠就找到1000其中的毒药呢？

假设有一仅仅老鼠，我们能够让它喝一半的药水。

它的生死就能确定毒药在哪一半。

比如n = 8。

              000 001 010 011 100 101 110 111

老鼠a                                 1     1     1     1

老鼠a喝下编号为5到8的全部药水以后，假设毒药在右半边。老鼠死；否则，老鼠活。

假设用二进制去编码药水，一仅仅老鼠的生死能够指示这一瓶毒药某一位是0，还是1

最后的实验方案是这种

              000 001 010 011 100 101 110 111

a                                  1     1     1     1

        b                    1      1                  1     1

        c              1            1           1            1

不同的老鼠喝下自己一行中标注为1的药水

假设是1000瓶药水。依次用二进制表示。

按照上面的方式我们能够用10仅仅老鼠来找到唯一的毒药。

以下重点说下这个问题的拓展。

假设1000瓶液体其中有两瓶毒药，最少须要的老鼠是多少呢，应该怎样操作？

依据前面的方法。我们先计算理论上的下界。

毒药的分布总共同拥有C(1000,2)中情况，我们最少须要19仅仅老鼠。

首先把毒药平均分成两组。怎样确定毒药在哪一组呢？

比如：

A:   000 001 010 011

B:   100 101 110 111

一仅仅老鼠是不够的

我们用两仅仅老鼠a,b。

a喝下A组，b喝下B组。

假设两仅仅老鼠所有死去，我们能够确定毒药分别在A、B其中。假设老鼠仅仅有一仅仅死去。我们能够确定两瓶毒药在同一组里

也就是说通过上诉方法，我们能够确定毒药编号的二进制表示的第1位的状况（都是1，都是0。各自是0、1）

这种方法是否能确定第2位的状态呢？

答案是能。

可是存在一个问题。

假设第1位各自是0、1，第2位也各自是0、1，那么这两个瓶的编号是00、11，还是01、10呢？

怎样解决问题呢？

假设我们知道两瓶毒药的编号的第1位是不同的

比如：

A:   000 001 010 011

B:   100 101 110 111

毒药1在A组，毒药2在B组，那么这个问题就变成了寻找一瓶毒药的问题。针对n=8的情况，我们能够再使用2对老鼠就能找到两瓶毒药的编号。

假设我们有两周试验的机会。能够第一周先用2对老鼠（为什么是2对？）找到毒药编号哪一位是不同的。

在知道哪一位不同以后。在第二周用2对老鼠得到两瓶毒药的其它位值。

也就是说我们能够用2*log2(n/2)+2*log(n/2) 仅仅老鼠在两轮试验的情况下找到两瓶毒药

可是我们仅仅同意有1轮试验时间，怎样解决呢？

既然不能猜，我们就全押好了。

对于n=8的情况，两瓶毒药的编号，可能在1、2、3位不同。总是有一位不同，也有可能好几位不同。

我们先押第1位不同。也就是两瓶毒药分别在A、B组其中：

A:   000 001 010 011

B:   100 101 110 111

用2对老鼠分别測试A、B组毒药。

再押第2位不同，两瓶毒药分别在C、D组中：

C: 000 001 100 101  

D: 010 011 110 111

也是用两对老鼠

再押第3位不同。分别在E、F组：

E: 000 010 100 110

F: 001 011 101 111

那么这样測试的结果会怎样呢？

如果两瓶毒药编号在第3位同样。

比方是010， 100，那么E、F两组測试的结果是F组的老鼠所有存活下来。

假设是011。 111。那么E、F两组的測试结果是E组的老鼠所有存活。

所以第3位不同样的如果是不成立的。

也就是说哪一位假设是同样的，针对那一位做的实验会出现一组其中所有存活的情况。因此这两组针对这一位的实验是无效的。

假设两瓶毒药在第1位是不同的。

比如毒药编号是011、100，那么A、B组其中都会出现死亡，那么第1位不同的如果是成立的，我们能够得到各个位的值。

综上所述在推測某一位不同一时候，我们须要2*log(n/2)仅仅老鼠；要押中全部位的话，我们须要log(n)*2*log(n/2)仅仅老鼠。

也就是说。假设n=1000。有两瓶毒药。

用上述方法。我们须要（10*2*9）180仅仅老鼠，才干找出毒药编号。

离我们的下界19有些远。