[USACO15OPEN]回文的路径Palindromic Paths

Posted 2020-09-30 Z-Y-Y-S

题目描述

农夫FJ的农场是一个N*N的正方形矩阵（2\le N\le 5002≤N≤500），每一块用一个字母作标记。比如说：

ABCD 
BXZX 
CDXB 
WCBA 

某一天，FJ从农场的左上角走到右下角，当然啦，每次他只能往右或者往下走一格。FJ把他走过的路径记录下来。现在，请你把他统计一下，所有路径中，回文串的数量（从前往后读和从后往前读一模一样的字符串称为回文串）。

输入输出格式

输入格式：

第一行包括一个整数N，表示农场的大小，接下来输入一个N*N的字母矩阵。

输出格式：

Please output the number of distinct palindromic routes Bessie can take,

modulo 1,000,000,007.

输出一个整数，表示回文串的数量。

输入输出样例

输入样例#1：

4
ABCD
BXZX
CDXB
WCBA

输出样例#1：

12
题解：动态规划
设f[i][j][k]为起点开始竖方向向下走到i，横向走到j，从终点向上走到k，可知l=i+j-k
f[i][j][k]->f[i+1][j][k]&f[i][j+1][k]&f[i+1][j][k+1]&f[i][j+1][k+1](颜色相同)
最后答案就是i+j=n时的最大值
时空间复杂度都是O(n^3)但还有优化
可以把第一维换成步数，f[i][j][k]表示走i步，向下到i，向上到k
f[i][j][k]->f[i+1][j+1][k]&f[i+1][j+1][k+1]&f[i+1][j][k+1]&f[i+1][j][k]
用滚动数组消去一个n
此题巨坑，时间卡的紧，多谢YZD大佬指点才过
要点：若f[now][j][k]=0就不转移

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long lol;
 7 int Mod=1000000007;
 8 lol f[2][501][501];
 9 int now,nxt,n,m;
10 lol ans;
11 char a[501][501];
12 void get(int i)
13 {
14     int x=0;
15     char ch=getchar();
16     while (ch<‘A‘||ch>‘Z‘) ch=getchar();
17     while (ch>=‘A‘&&ch<=‘Z‘) 
18     {
19         x++;
20         a[i][x]=ch;
21         ch=getchar();
22     }
23 }
24 int main()
25 {
26     register int i,j,k;
27     //freopen("b.in","r",stdin);
28     //freopen("b.out","w",stdout);
29     cin>>n;
30     m=n;
31     for (i=1; i<=n; i++)
32     {
33         get(i);
34     }
35     if (a[1][1]!=a[n][m])
36     {
37         cout<<0<<endl;
38         return 0;
39     }
40     f[0][1][n]=1;
41     now=1;
42     nxt=0;
43     for (i=1; i<=n; i++)
44     {
45         swap(now,nxt);
46         memset(f[nxt],0,sizeof(f[nxt]));
47         for (j=1; j<=i; j++)
48         {int b=n-i+1;
49             for (k=n; k>=b; k--)
50             if(f[now][j][k])
51             {
52                 int y1=i-j+1,y2=m-i+n-k+1;
53                 //printf("%d %d %d %d %d\n",i,x1,y1,x2,y2);
54                 f[now][j][k]%=Mod;
55                 if (j+1<=n&&k-1>=1&&a[j+1][y1]==a[k-1][y2])
56                     f[nxt][j+1][k-1]+=f[now][j][k];
57 
58                 if (j+1<=n&&y2-1>=1&&a[j+1][y1]==a[k][y2-1])
59                     f[nxt][j+1][k]+=f[now][j][k];
60 
61                 if (y1+1<=m&&k-1>=1&&a[j][y1+1]==a[k-1][y2])
62                     f[nxt][j][k-1]+=f[now][j][k];
63 
64                 if (y1+1<=m&&y2-1>=1&&a[j][y1+1]==a[k][y2-1])
65                     f[nxt][j][k]+=f[now][j][k];
66             }
67         }
68     }
69     for (i=1; i<=n; i++)
70         ans=(ans+f[now][i][i])%Mod;
71     cout<<ans%Mod;
72 }