[USACO07OPEN]便宜的回文Cheapest Palindrome

Posted 2022-04-23 clockwhite

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题目概要：对于用字典序中前n个小写字母组成的串，付出一定的代价来插入or删除使其成为回文串的最小代价。

解题思路：首先对于最优解，要么是贪心要么是DP。这题是DP。设f[i][i+l]为将a[i]~a[i+l]变成回文的最小代价。方程式：

①若a[i]==a[i+l] f[i][i+l]=f[i+1][i+l-1]

②s1=f[i][i+l-1]+增加代价；s2=f[i][i+l-1]+删减代价；s3=f[i+1][i+l]+增加代价；s4=f[i+1][i+l]+删减代价；f[i][i+l]=min(min(s1,s2),min(s3,s4));

如何理解这个方程式呢？对于当前的串，最好的情况无异于是首尾相同（满足回文的基础条件）且里面也回文（①的情况）。如果不满足就只有进行调整。情况一为，a[i+1][i+l]回文，删去a[i]或增加一个与a[i]相同的字母即可。情况二则以a[i+l]作为待调整的字母，与一同理（②的情况）。这样一来就可以出答案了。

又及：此方法适用于大多数有关于回文的DP

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<fstream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int read()
    char ch;
    int res=0,f=1;
    ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)
        if(ch==‘-‘)f=-1;
        ch=getchar();
    
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)
        res=res*10+(ch-‘0‘);
        ch=getchar();
    
    return res*f;

int n,tot,ans,c[5005],s[5005],k;
long long f[5005][5005];
char a[5005],ch;
int main()
    k=read();
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>a[i];
    
    for(int i=1;i<=k;++i)
        cin>>ch;
        c[ch-‘a‘]=read();
        s[ch-‘a‘]=read();
    
    for(int l=1;l<n;++l)
        for(int i=1;i+l<=n;++i)
            if(a[i]==a[i+l])f[i][i+l]=f[i+1][i+l-1];
            else
                int s1=f[i][i+l-1]+c[a[i+l]-‘a‘],
                    s2=f[i][i+l-1]+s[a[i+l]-‘a‘],
                    s3=f[i+1][i+l]+c[a[i]-‘a‘],
                    s4=f[i+1][i+l]+s[a[i]-‘a‘];
                    f[i][i+l]=min(min(s1,s2),min(s3,s4));
            
            
        
    
    printf("%lld",f[1][n]);
    return 0;