算法 - KMP算法

Posted 2020-09-30

1 解决问题

从一个字符串中查找子串，如果存在返回字串在字符串中的位置。

示例：

字符串（T）：“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”

子串( P)：“ABCDABD”

通过算法查找字串P在字符串T中的位置为15（从0开始）。

2 暴力算法

思路：

循环T，从T的每个字符开始子字串P匹配。

代码：

int strstr(char iTarget[], int iTLen, char iPattern[], int iPLen)
{
    for (int i = 0; i<iTLen; i++)
    {
        // 从i位置开始匹配子串后续字符是否相等
        bool isMatch = true;
        for (int j = 0; j<iPLen; j++)
        {
            if (iTarget[i + j] != iPattern[j])
            {
                isMatch = false;

                break;
            }
        }

        if (isMatch)
        {
            return i;
        }
    }

    return -1;
}

 

分析：

上面的算法平均时间复杂度是O(iTLen*iPLen)。

3 KMP算法

算法思路：

还是上面的示例：

字符串（T）：“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”

子串( P)：“ABCDABD”

查找字串P在字符串T中的位置，通过下面的流程来模拟KMP算法的过程。

1）、第一个字符。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位

 

首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

2）、第二个字符，因为B与A不匹配，搜索词再往后移

3、就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

4)、接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

5）、直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

6）、这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做就是上面暴力算法的方式，但是效率很差，因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置，重比一遍。

7、一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

 

8）、怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

 

9）、已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

　　移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

　　因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

10)、因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

 

 

11）、因为空格与A不匹配，继续后移一位。

 

12）、逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

 

13）、逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。后续我们稍微改进下代码即可实现。

部分匹配表的产生及意义：

1、首先，要了解两个概念："前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

2、"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。

如上字符的的共有元素没有，所以最长的共有元素的长度为0。

3、以字符串"ABCDABD"为例，从第一个字符到每个字符位置，可以获得字符串列表：

“A”,"AB","ABC","ABCD","ABCDA","ABCDAB","ABCDAB","ABCDABD"

4、计算上面字符串列表中每个字符串的最长的共有元素长度，计算方式通过上面1、2步：

　　－　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

　　－　"AB"的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

　　－　"ABC"的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

　　－　"ABCD"的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

　　－　"ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为"A"，长度为1；

　　－　"ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为"AB"，长度为2；

　　－　"ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

5、"部分匹配"的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，"ABCDAB"之中有两个"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。搜索词移动的时候，第一个"AB"向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个"AB"的位置。

如果不考虑重复部分，直接从不能匹配的位置开始从新匹配，则可能出现遗漏的情况，比如下面C,D不匹配，下面字符串从C开始从新匹配。

 

部分匹配表的求解思路（即Next数组）

 

代码：

void makeNext(const char P[], int next[])
{
    // 模版字符串长度
    int iPLen = strlen(P);

    // 前一个位置的字符最大公共前后缀长度
    int iCurMaxLen = 0;

    // 模版字符串的第一个字符的最大前后缀长度为0
    next[0] = 0;

    //for循环，从第二个字符开始，依次计算每一个字符对应的next值
    for (int index = 1; index < iPLen; index++)
    {
        while (iCurMaxLen > 0 && P[index] != P[iCurMaxLen])
        {
            iCurMaxLen = next[iCurMaxLen - 1];
        }

        //如果相等，那么最大相同前后缀长度加1
        if (P[index] == P[iCurMaxLen])
        {
            iCurMaxLen++;
        }

        next[index] = iCurMaxLen;
    }
}

 

分析：