扩展欧几里得

Posted 2020-09-29 声声醉如兰

对于方程 ax+by=c（x,y为整数），当且仅当 c%gcd（a,b）==0 时，（x,y）有解（见证明3），且有gcd(a,b)组解。

求出方程的一个解x，方程的最小正整数解x0 = (x%(b/gcd(a,b) ) + b/gcd(a,b)) % b/gcd(a,b) (见证明4)

那么 exgcd（int a,int b,int &x,int &y）为求解该方程的函数，这个函数的返回值为 gcd(x,y)，代码如下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1; //解释见证明1
        y = 0; //解释见证明1
        return a;
    }

    else
    {
        int r = exgcd(b,a%b,y,x);  //解释见证明2
        y -= a/b*x;  //解释见证明2
        return r;
    }
}

相关证明：

　　证明1：当b=0时，gcd（a,b）= a,那么有 ax=a， 得x=1，y=0。

　　证明2：有裴蜀定理得知：a*x1 + b*y1 = gcd(a,b) 一定成立，

　　　　　  那么得：b*x2 + (a%b)*y2 = gcd(a,b) 

　　　　　  那么得：b*x2 + (a - a/b*b)*y2 = gcd(a,b)

　　　　　  那么得：b*x2 + a*y2 - a/b*y2*b = gcd(a,b)

　　　　　  那么得：a*y2 + b(x2 - a/b*y2) = gcd(a,b)

　　　　　  因为：a*x1 + b*y1 = gcd(a,b)

　　　　　  所以： x1= y2,y1 = (x2 - a/b*y2)

　　证明3： 结论 对于方程 ax+by=c（x,y为整数），当且仅当 c%gcd（a,b）==0 时有解

　　　　　　设 f = c mod (gcd(a,b)),那么f的取值范围应为 ： 0 <= f < gcd(a,b)

　　　　　　有裴蜀定理知道：ax + by = gcd(a,b)

　　　　　　可设：k*gcd(a,b) + f = c

　　　　　　那么：k*a*x + k*b*y + f = c

　　　　　　若 f != 0,因为0 <= f < gcd(a,b)，所以 f = m*a(m为整数)不成立，所以 k*a*x + k*b*y + ma = c 不成立

　　　　　　所以 f应为0，那么 c mod (gcd(a,b)) 应为 0。

　　证明4：设c = gcd(a,b)，相邻的两组解之间的间隔为dx

　　　　　　得：a*x = d(mod b),

　　　　　　　　a*(x+dx) = d(mod b)

　　　　　　两个式子相减得 ： a*dx % b  = 0

　　　　　　a*dx 是b的整数倍，也是a的整数倍,所以lcm(a,b)所对应的dx值最小

　　　　　　lcm(a,b) = a*b/c

　　　　　　所以 a*dx = a*b/c，所以 dx = b/c

　　　　　　所以最小解x0为：(x%dx + dx)%dx，(x为已经求出的一个解)