欧几里得和扩展欧几里得

Posted 2020-09-29 happy_code

别人总结的，很详细，http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

欧几里得算法，就是人们常说的辗转相除法，比较好理解，主要作用是求两个数最大公约数，最小公倍数也可方便的求出

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b==0?a:gcd(b,a%b);
4 }

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扩展欧几里得就非常神奇了，主要作用是解不定方程， 即  a * x + b * y = c ，我们都知道可以有解，但不是唯一解

用 exgcd 可以很快求出  a * x + b * y = gcd(a,b) 的一个特解。如果  gcd(a,b) | c   即，有整数解，否则无

假如求出特解  x0 ，y0  那么通解 a * x + b * y = gcd(a,b)  为

x = x0 + b / gcd(a,b) * t   ( t 为任意整数 ）

y = y0 - a / gcd(a,b) * t   ( t 同上 )

保证了式子恒等，所以是通解，假如要求 x 的最小非负整数解即 ,设 m = b / gcd(a,b)  ，x = (x0 % m + m)%m  (前提要 b / gcd(a,b)为正)

再回到 a * x + b * y = c 的特解，设， k = c / gcd (a,b)

那么特解 x1 = k * x0  ,  y1 = k * x0

式子变为 a * x1 + b * y1 = z   ，咋一看通解为  x = x1 + b * t    y = x2 - a * t

其实不对，先将两边同除 gcd(a,b)  得  a1 * x1  + b1 * y1 =  k 

容易看出, a * x + b * y = c 通解为

x = x0*k + b/gcd(a,b) * t 

y = y0*k - a/gcd(a,b) * t (t为任意整数)

因为 b1 <= b 所以对 b1 取模一定小于等于 b，

同样方法取最小非负解

 

扩展欧几里得还可以很方便的求乘法逆元 a * x == 1 （mod m） x 即为 a 的乘法逆元

可以变形为 a * x + m * y == 1 (mod m)

exgcd(a,m,x,y) 后，x 可能是负数,同上方法处理 (x % m/gcd + m/gcd) % m/gcd 

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if (b==0)
 4     {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return a;
 8     }
 9     int r = gcd(b,a%b,y,x);
10     y-=(a/b)*x;
11     return r;
12 }

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