扩展欧几里得

Posted 2020-06-14

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r。当中a，b。q，r都是整数。则gcd(a,b)=gcd(b,r)。即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

递归代码：

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得

基本算法：对于不全然为 0 的非负整数 a，b。gcd（a。b）表示 a，b 的最大公约数，

          必定存在整数对 x。y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

1。显然当 b=0。gcd（a，b）=a。此时 x=1。y=0；

2，ab!=0 时。设 ax1+by1=gcd(a,b);

　 bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　 依据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

 　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　 依据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

   这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1。y1 的值基于 x2，y2.

　 上面的思想是以递归定义的，由于 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归能够结束。

递归代码：

__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x1,__int64 &y1)
{
    __int64 t,d;
    if(b==0){
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    t=x1;
    x1=y1;
    y1=t-a/b*y1;
    return d;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有下面三方面：

（1）求解不定方程。

（2）求解模线性方程（线性同余方程）。

（3）求解模的逆元；

补充定理：

1.设a，b，c为随意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为（x0。y0），

则它的随意整数解都能够写成（x0+kb‘,y0-ka‘),当中a‘=a/gcd（a。b），b‘=b/gcd（a，b），k为随意整数

2.定理：若ax+by=g。（g=gcd(a,b)，即g是a,b的最大公约数）有整数解；则ax+by=c（c是g的倍数）有整数解