[bzoj2173]整数的lqp拆分

Posted 2020-09-29 Z-Y-Y-S

Description

lqp在为出题而烦恼，他完全没有头绪，好烦啊… 他首先想到了整数拆分。整数拆分是个很有趣的问题。给你一个正整数N，对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0，a1 ,a2 ,a3…am>0，且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合。通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式，但是因为这个递推式实在太简单了，如果出这样的题目，大家会对比赛毫无兴趣的。然后lqp又想到了斐波那契数。定义F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2 (n>1)，Fn就是斐波那契数的第n项。但是求出第n项斐波那契数似乎也不怎么困难… lqp为了增加选手们比赛的欲望，于是绞尽脑汁，想出了一个有趣的整数拆分，我们暂且叫它：整数的lqp拆分。和一般的整数拆分一样，整数的lqp拆分是满足任意m>0，a1 ,a2 ,a3…am>0，且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合。但是整数的lqp拆分要求的不是拆分总数，相对更加困难一些。对于每个拆分，lqp定义这个拆分的权值Fa1Fa2…Fam，他想知道对于所有的拆分，他们的权值之和是多少？简单来说，就是求 由于这个数会十分大，lqp稍稍简化了一下题目，只要输出对于N的整数lqp拆分的权值和mod 109（10的9次方）+7输出即可。

Input

输入的第一行包含一个整数N。

Output

输出一个整数，为对于N的整数lqp拆分的权值和mod 109（10的9次方）+7。

Sample Input

3

Sample Output

5
【样例说明】
F0=0，F1=1，F2=1，F3=2。
对于N=3，有这样几种lqp拆分：
3=1+1+1, 权值是1*1*1=1。
3=1+2，权值是1*2=2。
3=2+1，权值是2*1=2。
所以答案是1*1*1+1*2+2*1=5。

HINT

20%数据满足：1≤N≤25 50%数据满足：1≤N≤1000 100%数据满足：1≤N≤1000000

给出两种解法

1.

母函数还不知道，先当逆元和组合数练习题

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long lol;
 7 int Mod=1000000007;
 8 lol ans,A[1000001],c[1000001];
 9 int n;
10 lol pow(lol x,int y)
11 {
12     lol res=1;
13     while (y)
14     {
15         if (y%2==1) res=(res*x)%Mod;
16         x=(x*x)%Mod;
17         y=y/2;
18     }
19     return res;
20 }
21 int main()
22 {int i;
23     cin>>n;
24     A[1]=1;
25      for (i=2;i<=n;i++)
26      A[i]=((Mod-Mod/i)*A[Mod%i])%Mod;
27      c[1]=n;
28      ans=(ans+n)%Mod;
29      for (i=1;i<=(n-1)/2;i++)
30      {
31          c[2*i+1]=(((c[2*i-1]*(n-2*i))%Mod)*(n-2*i+1)%Mod)%Mod;
32          c[2*i+1]=(((c[2*i+1]*A[2*i])%Mod)*A[2*i+1])%Mod;
33          ans=(ans+(c[2*i+1]*pow(2,i))%Mod)%Mod;
34      }
35     cout<<ans;
36 }

 2.打表找规律：

G[n]=2G[n-1]+G[n-2],G[0]=0,G[1]=1

不过可以通过40分dp推导

暴力显然有G[n]=ΣG[i]*F[n-i]+F[n],O(n^2)

1 #include<cstdio>
2 int n;long long mod=1e9+7,g[1000010];
3 int main()
4 {
5      scanf("%d",&n);g[1]=1;
6      for(int i=2;i<=n;i++)g[i]=(2*g[i-1]+g[i-2])%mod;
7      printf("%lld\\n",g[n]);
8 }