最短路径(Dijkstra算法)

Posted 2020-09-29 luStar

当用图结构来表示通信、交通等网络，权重代表距离或者成本，寻找最短路径就成为了一个重要的任务。

给定带权网络G=(V;E)，源点s，对于其他所有顶点v，寻找s到v的最短路径，连接成一颗最短路径树。可以证明，最短路径的任一前缀也是最短路径。

这一性质，可以理解为，对于一颗最短路径树，按到起点的距离排序，删除后面k个顶点以及关联边后，残存的子树T‘依然是最短路径树。因此，只需要找到一个新的距离源点s最近的顶点，即可扩充子树，最终成为全图的最短路径树。

考虑优先级搜索的框架，当前顶点尚未发现的邻接顶点，其优先级可以定义为其父亲的优先级加上联边的权重，即priority(u)=priority(parent(u))+weight(v,u)。与Prim算法类似，每次只需要将优先级最高的顶点以及联边加入子树，最终即可得到最短路径树。

 1 template<typename Tv, typename Te> struct Dijkstra
 2 {
 3     virtual void operator()(Graph<Tv, Te>* g, int uk, int v)
 4     {
 5         if (g->status(v) == UNDISCOVERED)//对于uk每个尚未被发现的邻接顶点v
 6             if (g->priority(v) > g->priority(uk) + g->weight(uk, v))//u到Vk的距离看做u的优先级
 7             {
 8                 g->priority(v) = g->priority(uk) + g->weight(uk, v);//更新优先级数
 9                 g->parent(v) = uk;//更新父节点
10             }
11     }//每次都是寻找离开始节点s最近的节点，仅当新节点才更新，每个已发现节点的priority都是到s的最短距离
12 };

与Prim算法不同之处在于，Prim算法仅考虑子树到邻接顶点的联边权重；Dijkstra算法需要考虑的是到源点s的最短路径，基于前缀仍然是最短路径这一前提，只需要简化为，distance(s,u)=distance(s,v)+distance(v,u)。对应优先级，将边的权重作为优先级，即可实现。最后，沿着树边即可得到一颗最短路径树。