树状数组的简单运用

Posted 2020-09-29 ljc20020730

树状数组是一个比较优秀的数据结构，可以在O（log n）的情况下完成一些对数列的维护~~

而且代码简单易懂，所以树状数组在OI竞赛中对于解决区间问题是十分常用的数据结构

接下来是一些例题：

A.校门外的树

题目描述

某校大门外长度为L的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是1米。我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴0的位置，另一端在L的位置；数轴上的每个整数点，即0，1，2，……，L，都种有一棵树。

由于马路上有一些区域要用来建地铁。这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

输入输出格式

输入格式：

输入文件tree.in的第一行有两个整数L（1 <= L <= 10000）和 M（1 <= M <= 100），L代表马路的长度，M代表区域的数目，L和M之间用一个空格隔开。接下来的M行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

输出格式：

输出文件tree.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示马路上剩余的树的数目。

输入输出样例

输入样例#1：

500 3
150 300
100 200
470 471

输出样例#1：

298

说明

NOIP2005普及组第二题

对于20%的数据，区域之间没有重合的部分；

对于其它的数据，区域之间有重合的情况。

【解释】

一个经典的模拟+暴力问题，暴力算法就不再多说，讲一下树状数组的解决方法：

这题需要差分解决：

那么先来看一下差分是什么东西吧！

先要了解差分就要先了解前缀和：

比如说{1,1,2,3,2} 前缀和是{1,2,4,7,9}

差分就是前缀和的逆

我们可以先对于初始数列进行差分（不用编写程序因为每处都是1，差分数列是000000000，能理解吧？）

比如说{1,1,2,3,2} 差分数列是{1,0,1,1,-1}

那么差分序列的区间加的时间复杂度为O(1)

注意到a[5]={1,1,2,3,2},差分数列b是{1,0,1,1,-1}

假设我们要把2~4之间都+2

差分数列为：{2,0,1,1,-3}注意到差分序列b中只改变了a[1]a[5]，算法复杂度为O(1)

重点在这里：对于闭区间[x,y]都加opx，我们只要O(1)将[x,y]在a序列中的关于序列a的差分序列b的 b[x-1]+opx b[y+1]-opx就可以了

现在要开始讲题目：假设我们树状数组维护的是一个差分序列c[x]

对于给出的[x,y]我们O(1)维护c[x-1]+opx；c[y+1]-opx

最后遍历1~n+1整个范围看一下差分序列c前缀和bi是否为0，是则这里有树否则这里没有树，就可以简单累加了；

重点在这里：差分的前缀和就是原数列；前缀和的差分就是原数列。

var n,m,i,l,r,ans:longint;
    c:array[1..100000]of longint;
procedure update(x,opx:longint);
begin
 while x<=n do begin
  c[x]:=c[x]+opx;
  x:=x+(x and (-x)) ;
 end;
end;
function query(x:longint):longint;
var sum:longint;
begin
 sum:=0;
 while x>0 do begin
  sum:=sum+c[x];
  x:=x-(x and (-x)) ;
 end;
 exit(sum);
end;
begin
 readln(n,m);
 for i:=1 to m do begin
  readln(l,r);
  update(l+1,1);
  update(r+2,-1);
 end;
 ans:=0;
 for i:=1 to n+1 do
  if query(i)=0 then inc(ans);
 writeln(ans);
end.