树状数组

Posted 2021-03-10 hailin545

树状数组不难理解，学的还算轻松，它的核心就是一个lowbit的运用，学之前还特地把位运算重新学了一遍。

//位运算符：& | ^ ~ << >>
    int a1=60,b1=13;
    //在二进制中，
    //a=00111100
    //b=00001101
    int c1=a1&b1;//对应每一位做与运算， 相同为1，不同则为0，所以c=00001100.
    int d1=a1|b1;//对应每一位做或运算，有1则为1，无1则为0，所以d=00111101
    int e1=a1^b1;//对应每一位做亦或运算，不同则为1，同则为0，所以e=011001
    int f1=~a1;//(取反)二进制补码运算符，0变成1，1变成0，所以f=11000011
    int g1=a1<<2;//二进制左移运算符，所有的数向左移动两位，g=11110000，等价a*2
    int h1=a1>>2;//二进制右移运算符，所有的数向右移动两位,h=00001111，等价a/2;
    printf("c1=%d
d1=%d
e1=%d
f1=%d
g1=%d
h1=%d
",c1,d1,e1,f1,g1,h1);

树状数组的一些基操：

int lowbit(int m)
{
  return m&(-m);
}
int getSum(int m)//求前缀和
{
  int ans=0;
  while(m>0){ans+=c[m];m-=lowbit(m);}
  return ans;
}
void update(int x,int value)//单点更新
{
  a[x]+=value;
  while(x<=n)
  {
    c[x]+=value;
    x+=lowbit(x);
  }
}

树状数组的单点更新、求前缀和的时间复杂度都是O(logn)的，对比差分数组的求前缀和有提高，总的来说还是更好一点，不过一般不会用于区间修改。

例题：敌兵布阵

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C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。
Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End 

Sample Output

Case 1:
6
33
59

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很明显这道题是单点修改、区间查询，因为区间查询不是整个区间，所以我们就做差就行了。（说的好少啊，不过好像没什么好说的，又不是出教程<(＿　＿)>）

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50010
#define ll long long
int T,n,a[N],c[N];
string q;
int lowbit(int x){return x&-x;}
void update(int i,int var)
{
  a[i]+=var;
  while(i<=n)
  {
    c[i]+=var;
    i+=lowbit(i);
  }
}
ll getSum(int l,int r)
{
  ll ans1=0,ans2=0;
  while(l>0)
  {
    ans1+=c[l];
    l-=lowbit(l);
  }
  while(r>0)
  {
    ans2+=c[r];
    r-=lowbit(r);
  }
  return ans2-ans1;//做差求区间和
}
int main()
{
  cin>>T;
  for(int t=1;t<=T;t++)
  {
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(c,0,sizeof(c));
    cin>>n;
    int ai=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      cin>>ai;
      update(i,ai);
    }
    cout<<"Case "<<t<<":"<<endl;
    int l,r,idx,d;
    while(cin>>q&&q!="End")
    {
      if(q=="Add"){
        cin>>idx>>d;
        update(idx,d);
      }
      else if(q=="Query")
      {
        cin>>l>>r;
        cout<<getSum(l-1,r)<<endl;
      }
      else if(q=="Sub")
      {
        cin>>idx>>d;
        update(idx,-d);
      }
    }
  }
  return 0;
}