高次多项式因式分解

Posted 2020-06-25 shamgod

一、

1.商式

在多项式除法P(x)/Q(x)运算中，如果P(x)可以表示成Q(x)*S(x)+R(x)的形式（其中S(x)、R(x)为整式），那么S(x)叫该除法式中的商式。

例1：求(x^3-2)/(x+1)的商式

解：(x^3-2)/(x+1)

=(x^3+1-3)/(x+1)

=(x^3+1)/(x+1)-3/(x+1)

=(x^2-x+1)-3/(x+1)

所以 商式为x^2-x+1

例2：（2x^3-4x^2-1）/（x^2-2x-1/2）的商式是_____。

解：原式=2x+（x-1）/（x^2-2x-1/2）

所以原式商式为2x

结合综合除法使用。

 

2.因式定理

(1)即为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

(2)例题

如图，

此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。

仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。

根据因式定理可知：原式必有因式x-y

同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）

然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可

(3)意义

熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式，再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。

同时，将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解，也可以用来判断能否进行因式分解。

(4)多项式的因式分解

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：

1. 先设法找出多项式的一个零点。
2. 利用因式定理确认是多项式的因式。
3. 利用长除法计算多项式。
4. 中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。

另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式

 

3.余数定理

(1)余数定理（Polynomial remainder theorem）是指一个多项式f(x) 除以一线性多项式(x-a)的余式是 f(a)。例如，(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5*3³+4*3²-12*3+1=136。

(2)当多项式f(x)除以一线性多项式(x-a)时，所得的馀式是f(a)。如果馀式为0，x-a即f(x)的一个因式。这结果可以帮助我们把多项式作因式分解。

 

 

4.综合除法

(1)综合除法(synthetic division)是一种简便的除法，只透过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式。

(2)综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。

例分解因式3x^3-4x^2-13x-6

∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).

说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．

        (2)因式可能重复．

 

5.多项式的因式分解中

(1)

(2)

(3)

6.

 

二、