此坑待填 离散化思想和凸包 UVA - 10173 Smallest Bounding Rectangle

Posted 2020-09-28 BobHuang

Smallest Bounding Rectangle

Given the Cartesian coordinates of n(>0)2-dimensional points, write a program that computes the area of their smallest bounding rectangle (smallest rectangle containing all the given points).

Input

The input le may contain multiple test cases. Each test case begins with a line containing a positive 
integer n(<1001) indicating the number of points in this test case. Then follows n lines each containing 
two real numbers giving respectively the x - and y 
-coordinates of a point. The input terminates with a 
test case containing a value 0 for n which must not be processed.

Output

For each test case in the input print a line containing the area of the smallest bounding rectangle 
rounded to the 4th digit after the decimal point.

Sample Input

3 
-3.000 5.000 
7.000 9.000 
17.000 5.000 
4 
10.000 10.000 
10.000 20.000 
20.000 20.000 
20.000 10.000 
0

Sample Output

80.0000 
100.0000

给定平面上n个点的坐标，求能够覆盖所有这些点的最小矩形面积。这个问题难就难在，这个矩形可以倾斜放置（边不必平行于坐标轴）。

这里的倾斜放置很不好处理，因为我们不知道这个矩形最终会倾斜多少度。假设我们知道这个矩形的倾角是α，那么答案就很简单了：矩形面积最小时四条边一定都挨着某个点。也就是说，四条边的斜率已经都知道了的话，只需要让这些边从外面不断逼近这个点集直到碰到了某个点。你不必知道这个具体应该怎么实现，只需要理解这可以通过某种方法计算出来，毕竟我们的重点在下面的过程。

我们的算法很显然了：枚举矩形的倾角，对于每一个倾角，我们都能计算出最小的矩形面积，最后取一个最小值。

这个算法是否是正确的呢？我们不能说它是否正确，因为它根本不可能实现。矩形的倾角是一个实数，它有无数种可能，你永远不可能枚举每一种情况。我们说，矩形的倾角是一个“连续的”变量，它是我们无法枚举这个倾角的根本原因。我们需要一种方法，把这个“连续的”变量变成一个一个的值，变成一个“离散的”变量。这个过程也就是所谓的离散化。

我们可以证明，最小面积的矩形不但要求四条边上都有一个点，而且还要求至少一条边上有两个或两个以上的点。试想，如果每条边上都只有一个点，则我们总可以把这个矩形旋转一点使得这个矩形变“松”，从而有余地得到更小的矩形。于是我们发现，矩形的某条边的斜率必然与某两点的连线相同。如果我们计算出了所有过两点的直线的倾角，那么α的取值只有可能是这些倾角或它减去90度后的角（直线按“\”方向倾斜时）这么C(n,2)种。我们说，这个“倾角”已经被我们“离散化”了。虽然这个算法仍然有优化的余地，但此时我们已经达到了本文开头所说的目的。