BZOJ1597 [Usaco2008 Mar]土地购买

Posted 2020-09-28 ONION_CYC

【算法】DP+斜率优化

【题意】n(n≤50000)块土地，长ai宽bi，可分组购买，每组代价为max(ai)*max(bi)，求最小代价。

【题解】

斜率优化：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

因为对于土地x和y，若满足a[x]<=a[y]&&b[x]<=b[y]，则x土地可无条件包含在y土地中，所以x土地可以忽略。

于是对长度从小到大排序，第二关键字对宽度从小到大排序，处理掉可被包含块。

则有a严格升序，b严格降序。

然后就是常规DP。

状态转移方程：f[i]=min(f[j]+a[i]*b[j+1])(j:0~i-1)

O(n^2)的效率显然不足，考虑斜率优化。

下面只从代数上理解斜率优化。

阶段i时对于决策j和k (j＜k)，当k更优时满足：

f[j]+a[i]*b[j+1]＞f[k]+a[i]*b[k+1]

即（f[j]-f[k]）/(b[k+1]-b[j+1])<a[i]

令d(j,k)=（f[j]-f[k]）/(b[k+1]-b[j+1])，

当d(j,k)＜a[i]时，k决策优于j决策，决策的位置就会往后移；当d(j,k)＞a[i]时，j决策优于k决策，决策的位置就会往前移。

我们认为d(j,k)越小越容易把决策往后送，定义为更优，也就是斜率越小越优。

于是维护一个决策队列，队列严格要求两两之间的d从最优到最劣，因为a[i]递增，当有一个新的a[i]时，前面的d(j,k)小的把决策后推，直到遇到大的就停下来，确定了最优决策。

为什么要维护决策队列的d从最优到最劣？设决策j,k,l(j<k<l)，因为若有d(j,k)>d(k,l)，当a[i]<d(k,l)时，j>k>l，当d(k,l)<a[i]<d(j,k)时，j>k&&l>k，当a[i]>d(j,k)时，l>k>j。可以发现，无论何时决策k都不会被选择，故应当删去。

斜率不是真实的，它只是比较优劣的工具，决策的优劣只与a[i]有关，而斜率只是比较两决策优劣与a[i]的关系。

但是我们为什么要定义斜率的优劣？因为右项a[i]单调递增。

所以删去k后，j和l之间会出现新的斜率，当a[i]和这个斜率发生大小变化时，j或l的选择将会改变。

整个过程可以想象成维护下凸包，不再赘述。

斜率优化题目的通法：

1.分离：列出决策优劣比较式（i阶段，j<k且k更优时），分离i和j k，当i有关变量呈现单调性质时可以进行斜率优化，根据不等关系定义斜率的优劣，维护从最优到最劣的决策队列。

2.决策：选取队头两个决策d(head,head+1)，若d满足优劣式说明k更优，删除队头j，继续比较；若d不满足优劣式说明j更优，则j为当前最优决策。

3.入队：选取队尾两个决策d1(tail-1,tail)和当先决策与队尾决策的d2(tail,i)，若d2优于d1则删除队尾，继续比较，直到d2劣于d1就把i入队。

【注意】long long=1ll*int*int，记得类型转换……。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50010;
long long f[maxn];
int q[maxn],n;
struct cyc{int x,y;}a[maxn],b[maxn];
bool cmp(cyc a,cyc b)
{return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);}
double d(int j,int k)
{return (f[j]-f[k])/(a[k+1].y-a[j+1].y);}//1.0*
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    int m=1;a[1]=b[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(b[i].y>=a[m].y&&m>0)m--;
        a[++m]=b[i];
    }
    n=m;
//    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d\\n",a[i].x,a[i].y);
//    f[0]=a[0].x=a[0].y=0;
    int head=0,tail=1;q[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(tail-head>=2&&d(q[head],q[head+1])<a[i].x)head++;
        f[i]=f[q[head]]+1ll*a[i].x*a[q[head]+1].y;
//        printf("f[%d]=%lld\\n",i,f[i]);
        while(tail-head>=2&&d(q[tail-1],q[tail-2])>d(q[tail-1],i))tail--;//ÕâÑùÉèÖöÓÁУ¬tail´¦Ã»ÓÐÊý×Ö¡­¡­ 
        q[tail++]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}

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