四边形不等式（石子合并）

Posted 2020-09-28 HWIM

 动态规区间dp做这道题的话应该是n^3，下面的代码优化到了n^2，用四边形不等式优化。

设mid[i][j]是dp[i][j]的最优解的断点，即它左区间的右端点，那么mid[i][j-1]<=mid[i][j]<=mid[i+1][j]，所以在求解dp[i][j]时，枚举k可以只枚举这两个值之间枚举就好，

程序要先枚举区间长度，在枚举左端点，枚举每个区间长度时，他们的k总是只从1到n，只走一遍，所以这就相当于优化了一层，变成了O(n²)的。

比如len长度为3时，dp[1][3]只会枚举mid[1][2]-mid[2][3]，如上。然后dp[2][4]时，枚举mid[2][3]-mid[3][4]。以此类推。

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const int MAXN = 4010;
 5 const int INF = 1e8;
 6 int dp[MAXN][MAXN],a[MAXN],sum[MAXN],mid[MAXN][MAXN],n;
 7 
 8 int main()
 9 {
10     scanf("%d",&n);
11     for (int i=1; i<=n; ++i)
12         scanf("%d",&a[i]), sum[i] = sum[i-1]+a[i];
13     
14     for (int i=1; i<=n; ++i)
15         dp[i][i] = 0, mid[i][i] = i;
16     
17     for (int len=1; len<n; ++len)//求右端点(i+len-1)会减1，先在这减了 
18     {
19         for (int i=1; i<=n-len; ++i)//左端点i最大值是右端点等于n时，(i+len)=n,i=n-len 
20         {
21             int j = i+len;//右端点 
22             dp[i][j] = INF;
23             for (int k=mid[i][j-1]; k<=mid[i+1][j]; ++k) 
24             {
25                 if (dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j])
26                 {
27                     dp[i][j] = dp[i][k]+dp[k+1][j];
28                     mid[i][j] = k;
29                 }
30             }
31             dp[i][j] += sum[j]-sum[i-1];
32         }
33     }
34     printf("%d",dp[1][n]);
35     return 0;
36 }