合并石子

Posted 2020-11-27 anyixing-fly

 

分析

　　这道题题目已经很裸了，不需要题意解释，看数据范围发现n3的效率肯定过不了，四边形不等式的n2呢？求最大值，不能用，而某nlogn的算法，盒盒，看不懂，所以考虑一种别的办法。

引理

　　合并区间(i,j)的石子时，最优断开位置k要么是i+1，要么是j-1。下面是证明(当然不是我写的啦，引用某大佬的证明）

　　于是我们可以得到，断开点一定是最左边的点或是最右边的点，引理得证。

　　所以有状态转移方程

　　　　

 

　　然后就可以以n2的效率求解这道题了。

问题

　　求解时i要倒序枚举，j要正序枚举，这里这么做是因为最佳划分点为i+1时，dpi由dpi+1转移，如果i正序枚举，就会用错误信息更新答案，不WA才怪，j也是同理

 

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=4e3+1;
int s[N],dp[N][N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        s[i+n]=s[i];
    }
    for(int i=1;i<n<<1;i++)
        s[i]+=s[i-1];
    for(int i=(n<<1)-1;i;i--)
        for(int j=i+1;j<=n<<1;j++)
            dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])+s[j]-s[i-1];
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    cout<<ans;
}

　　最近在学DP，代码都不难写，主要是状态转移方程不好推。。。。

 　　顺便再提一句，该做法好像只适用于求最大值，求最小值时有几率不对（很大几率），但给出证明的人说可以，但我明明举出了反例啊。。。。

　　比如4 1 1 1 1这组，最小应该时8，从中间断开为分割点，但用上边方法的话会求出9；所以我们是不是可以求最大用这个，最小用四边形不等式呢（手动滑稽