[dp专题-四边形不等式优化]51nod 1022

Posted 2020-06-20 ZhangMengzhi

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1021?石子归并?V1 N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。 ? 例如： 1 2 3 4，有不少合并方法 1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19) 1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24) 1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20) ? 括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。 Input 第1行：N（2 <= N <= 100) 第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000) Output 输出最小合并代价 Input示例 4 1 2 3 4 Output示例 19

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1022?石子归并?V2 N堆石子摆成一个环。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。 ? 例如： 1 2 3 4，有不少合并方法 1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19) 1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24) 1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20) ? 括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。 Input 第1行：N（2?<=?N?<=?1000) 第2?-?N?+?1：N堆石子的数量（1?<=?A[i]?<=?10000) Output 输出最小合并代价 Input示例 4 1 2 3 4 Output示例 19

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第一题比较好写，复杂度是n³，但是第二题就需要用到四边形不等式优化，把复杂度降为n²。

《算法竞赛入门经典训练指南-刘汝佳》P170（老版）

书中在讨论最优排序二叉树时提到四边形不等式优化方法。一般地，对于类似的状态转移方程：

????d[i,j] = max{ d[i,k?1] + d[k+1,j] } + w[i,j]

状态有O(n² )个，每个决策有O(n)，因此时间复杂度为O(n³)。

下面把它优化到O(n²)。

四边形不等式(Monge condition / Quadrangle inequality) 如果对于i ≤ i‘ < j ≤ j‘ 总有w[i,j] + w[i‘ ,j‘ ] ≤ w[i‘ ,j] + w[i ,j‘]，称w满足四边形不等式，或w满足凸性。

区间包含格上的单调性 如果对于i ≤ i‘ < j ≤ j‘ 总有w[i‘ ,j] ≤ w[ i , j‘ ]，称w满足单调性，也就是说对于两个区间q1,q2（q2包含q1），w[q1] ≤ w[q2]。

定理(F.Yao)：若w满足四边形不等式，则d也满足四边形不等式，即

d[i,j] + d[i‘ ,j‘ ] ≤ d[ i‘ ,j] + d[ i ,j‘ ] , i ≤ i‘ ≤ j ≤ j‘

证明略。

更进一步地，d的凸性可以推出决策单调性。记k[i,j]为让d[i,j]取最小值的决策，有

定理(F.Yao)：k[i,j] ≤ k[i,j + 1] ≤ k[i + 1,j + 1], i ≤ j，即k在同行同列都是递增的。

证明：由对称性，只需证明k[i,j] ≤ k[i,j + 1]。记d_k[i,j] = d[i,k ? 1] + d[k,j] +w[i,j]，则只需证明对所有的i < k ≤ k‘ ≤ j，如果d_k‘[i,j] ≤ d_k [i,j]，那么d_k‘ [i,j + 1] ≤d_k [i,j + 1]，即：区间加长一个单位后，以前较好的决策现在仍然好。事实上，可以证明一个更强的结论：d_k [i,j]?d _k‘[i,j] ≤ d _k [i,j +1]?d_k‘ [i,j +1](i <k ≤ k‘ ≤ j)，因为当k‘在[i,j]更优时，左边≥0，由不等式知右边≥0，因此k‘仍更优。

如上图，设k‘ 是[i,j]的最优值，则对于它左边的任意k，k‘ 在[i,j]上更优意味着k‘ 在[i,j+1]上仍最优，因此k‘ 左边的任意k在[i,j+1]上仍然不是最大值，即k[i,j + 1] ≥ k[i,j]。

欲证d_k [i,j] – d_k‘ [i,j] ≤ d_k [i,j + 1] – d_k‘ [i,j + 1](i < k ≤ k‘ ≤ j)，

移项得：d_k [i,j] +d_k‘ [i,j + 1] ≤ d_k [i,j + 1] + d_k‘ [i,j]。

按定义展开，两边消去w[i,j] + w[i,j + 1] + d[i,k ?1] + d[i,k 0 ? 1]得：

????????d[k,j] + d[k‘ ,j + 1] ≤ d[k,j + 1] + d[k‘ ,j]

这就是d的凸性。

有了决策单调性，可以稍微改造一下程序，决策从k[i,j?1]枚举到k[i+1,j]即可。

这样做时间复杂度降低了吗？当L = j ? 1固定时，

d[1,L + 1]的决策是k[1,L] ～ k[2,L + 1]

d[2,L + 2]的决策是k[2,L + 1] ～ k[3,L + 2]

d[3,L + 3]的决策是k[3,L + 2] ～ k[4,L + 3]

d[4,L + 4]的决策是k[4,L + 3] ～ k[5,L + 4]

...

合并起来，当L固定时总决策为k[1,L] ～ k[n?L+1,n]，共O(n)个。由于L有O(n)，因此总时间复杂度降为O(n ² )。

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扩展

以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

解决这类问题的大概步骤是：

1. 证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件
2. 证明m满足四边形不等式
3. 证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

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不管m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}的opt是min还是max，每一步的决策从k[i,j?1]枚举到k[i+1,j]即可。这样就能降低复杂度了。就51nod这道题来说，它的步骤也是如此。