ACM-欧几里得与拓展欧几里得算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了ACM-欧几里得与拓展欧几里得算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数

基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

递归版算法:

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }

递归优化版:

1 int gcd(int a,int b)
2  {
3      return b ? gcd(b,a%b) : a;
4  }

迭代版:

 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5       int r = b;
 6       b = a % b;
 7       a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }

 

扩展欧几里德算法

基本算法:对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。

证明:设 a>b。

  1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

  2,ab!=0 时

  设 ax1+by1=gcd(a,b);

  bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

  根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

  则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

  即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

  根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

   上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

递归版算法:

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return a;
 8     }
 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
10     int t=x;
11     x=y;
12     y=t-a/b*y;
13     return r;
14 }

非递归版:

 1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
 2 {
 3     int x1,y1,x0,y0;
 4     x0=1; y0=0;
 5     x1=0; y1=1;
 6     x=0; y=1;
 7     int r=m%n;
 8     int q=(m-r)/n;
 9     while(r)
10     {
11         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
12         x0=x1; y0=y1;
13         x1=x; y1=y;
14         m=n; n=r; r=m%n;
15         q=(m-r)/n;
16     }
17     return n;
18 }

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:

(1)求解不定方程;

(2)求解模线性方程(线性同余方程);

(3)求解模的逆元;

 

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c:

1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
2 {
3     int d=exgcd(a,b,x,y);
4     if(c%d)
5         return false;
6     int k=c/d;
7     x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
8     return true;
9 }

求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集:

 1 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
 2 {
 3     int x,y,x0,i;
 4     int d=exgcd(a,n,x,y);
 5     if(b%d)
 6         return false;
 7     x0=x*(b/d)%n;   //特解
 8     for(i=1;i<d;i++)
 9         printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
10     return true;
11 }

 

以上是关于ACM-欧几里得与拓展欧几里得算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

欧几里德算法 以及 欧几里得拓展

对拓展欧几里得算法的一点理解

Sumdiv|同余|约数|拓展欧几里得算法

拓展欧几里得算法

[数论]拓展欧几里得算法

理论: 数论:拓展欧几里得算法及其证明