傅里叶变换

Posted 2020-09-26 fellow_jing

傅里叶变换是一种信号分析方法，让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。

傅里叶变换的核心在于任何信号都可以表示成正弦信号的叠加。

 

 

为什么傅里叶变换要把信号分解为正弦波的组合，而不是方波或三角波?

正弦波有个其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具备的特点：正弦波输入至任何线性系统，出来的还是正弦波，改变的仅仅是幅值和相位，即：正弦波输入至线性系统，不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器，就会产生新的频率成分，称为谐波)。用单位幅值的不同频率的正弦波输入至某线性系统，记录其输出正弦波的幅值和频率的关系，就得到该系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位和频率的关系，就得到该系统的相频特性。

线性系统具备一个特点，多个正弦波叠加后输入至一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。

也就是说，我们只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道该系统对任意输入信号的响应。

如何求傅里叶变换?

连续傅里叶变换公式如下：

 

　　傅里叶的伟大之处不在于如何进行傅里叶变换，而是在于给出了“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这一伟大的论断。

　　正弦函数有一个特点，叫做正交性，所谓正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。如下：

 

 

　　这是一个非常有用的特性，我们可以利用这个特性设计一个如下的检波器(下称检波器A)：

　　检波器A由一个乘法器和一个积分器构成，乘法器的一个输入为已知频率f的单位幅值正弦波(下称标准正弦信号f)，另一个输入为待变换的信号。检波器A的输出只与待变换信号中的频率为f的正弦分量的幅值和相位有关。

　　

 

　　待变换信号可能包含频率为f的分量(下称f分量)，也可能不包含f分量，总之，可能包含各种频率分量。一句话，待变换信号是未知的，并且可能很复杂!

　　因为其它频率分量与标准正弦信号f的乘积的积分都等于零，检波器A可以当它们不存在!经过检波器A，输出就只剩下与f分量有关的一个量，这个量等于待变换信号中f分量与标准正弦信号f的乘积的积分。

　　很容易得到的结论是：

　　如果输出不等于零，就说明输入信号包含f分量!

　　这个输出是否就是f分量呢?

　　答案：不一定!

　　正弦波还有下述的特性：

　　相同频率的正弦波，当相位差为90°时(正交)，在一个周期内的乘积的积分值等于零;当相位相同时，积分值达到最大，等于两者的有效值的乘积，当相位相反时，积分值达到最小，等于两者的有效值的乘积取反。

　　我们知道标准正弦信号f的初始相位为零，但是，我们不知道f分量的初始相位!如果f分量与标准正弦信号f的相位刚好差90°(或270°)，检波器A输出也等于零!为此，我们再设计一个检波器B：

　　检波器B与检波器A的不同之处在于检波器B用一个标准余弦信号f(与标准正弦信号A相位差90°)替代滤波器A中的标准正弦信号f。如果待变换信号中包含f分量，检波器A和检波器B至少有一个输出不等于零。

　　

 

　　利用三角函数的基础知识可以证明，不论f分量的初始相位如何，检波器A和检波器B输出信号的幅值的方和根就等于f分量的幅值;而检波器B和检波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。

　　我们再把标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率替换成我们关心的任意频率，就可以得到输入信号的各种频率成分。如果知道输入信号的频率，把这个频率作为基波频率f0，用f0、2f0、3f0依次替代标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率，就可以得到输入信号的基波、2次谐波和3次谐波。

　　这就是傅里叶变换!

傅里叶级数